题目
计算∫∫∫zdxdydz-|||-Ω, 其中Ω是由锥面∫∫∫zdxdydz-|||-Ω与平面z=h(R>0, h>0)所围成的闭区域.
计算
, 其中Ω是由锥面
与平面z=h(R>0, h>0)所围成的闭区域.
题目解答
答案
解 当0≤z≤h时, 过(0, 0, z)作平行于xOy面的平面, 截得立体Ω的截面为圆Dz: 
, 故Dz的半径为
, 面积为
, 于是
=
.
解析
步骤 1：确定积分区域
根据题目，积分区域Ω是由锥面$z=\dfrac {h}{R}\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}$与平面z=h所围成的闭区域。当0≤z≤h时，过(0, 0, z)作平行于xOy面的平面，截得立体Ω的截面为圆Dz: ${x}^{2}+{y}^{2}={(\dfrac {R}{h}z)}^{2}$，故Dz的半径为$\dfrac {R}{h}z$，面积为$\dfrac {\pi {R}^{2}}{{h}^{2}}{z}^{2}$。
步骤 2：计算积分
根据步骤1，我们可以将积分写为：
∫zdxdydz Ω=${\int }_{0}^{h}zd=\iint {\int }_{2}^{dx}dy$$=\dfrac {\pi {R}^{2}}{{h}^{2}}{\int }_{0}^{h}{z}^{3}dz$。
步骤 3：计算定积分
计算定积分${\int }_{0}^{h}{z}^{3}dz$，得到$\dfrac {1}{4}{z}^{4}{|}_{0}^{h}=\dfrac {{h}^{4}}{4}$。
步骤 4：计算最终结果
将步骤3的结果代入步骤2的表达式中，得到$\dfrac {\pi {R}^{2}}{{h}^{2}}\times \dfrac {{h}^{4}}{4}=\dfrac {\pi {R}^{2}{h}^{2}}{4}$。
根据题目，积分区域Ω是由锥面$z=\dfrac {h}{R}\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}$与平面z=h所围成的闭区域。当0≤z≤h时，过(0, 0, z)作平行于xOy面的平面，截得立体Ω的截面为圆Dz: ${x}^{2}+{y}^{2}={(\dfrac {R}{h}z)}^{2}$，故Dz的半径为$\dfrac {R}{h}z$，面积为$\dfrac {\pi {R}^{2}}{{h}^{2}}{z}^{2}$。
步骤 2：计算积分
根据步骤1，我们可以将积分写为：
∫zdxdydz Ω=${\int }_{0}^{h}zd=\iint {\int }_{2}^{dx}dy$$=\dfrac {\pi {R}^{2}}{{h}^{2}}{\int }_{0}^{h}{z}^{3}dz$。
步骤 3：计算定积分
计算定积分${\int }_{0}^{h}{z}^{3}dz$，得到$\dfrac {1}{4}{z}^{4}{|}_{0}^{h}=\dfrac {{h}^{4}}{4}$。
步骤 4：计算最终结果
将步骤3的结果代入步骤2的表达式中，得到$\dfrac {\pi {R}^{2}}{{h}^{2}}\times \dfrac {{h}^{4}}{4}=\dfrac {\pi {R}^{2}{h}^{2}}{4}$。