题目
六、利用高斯公式计算：1.计算iintlimits_(Sigma)xy^2dydz+yz^2dxdz+zx^2dxdy，Sigma是上半球面z=sqrt(a^2)-x^(2-y^2)取上侧
六、利用高斯公式计算：
1.计算$\iint\limits_{\Sigma}xy^{2}dydz+yz^{2}dxdz+zx^{2}dxdy$，$\Sigma$是上半球面$z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$取上侧
题目解答
答案
利用高斯公式，将曲面积分转换为三重积分：
\[
\iint\limits_{\Sigma} xy^2 \, dydz + yz^2 \, dxdz + zx^2 \, dxdy = \iiint\limits_{\Omega} (x^2 + y^2 + z^2) \, dV
\]
其中，$\Omega$ 为上半球体。在球坐标系中，$x^2 + y^2 + z^2 = r^2$，体积元素 $dV = r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi$，积分范围为 $0 \leq r \leq a$，$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$，$0 \leq \phi \leq 2\pi$。计算得：
\[
\iiint\limits_{\Omega} r^2 \cdot r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi = \frac{2\pi a^5}{5}
\]
但平面 $z=0$ 的贡献为零，故原曲面积分为：
\[
\boxed{\frac{\pi a^5}{5}}
\]
解析
步骤 1：应用高斯公式
高斯公式（散度定理）将曲面积分转换为三重积分。对于给定的向量场 $\mathbf{F} = (xy^2, yz^2, zx^2)$，其散度为 $\nabla \cdot \mathbf{F} = x^2 + y^2 + z^2$。因此，原曲面积分可以转换为三重积分： \[ \iint\limits_{\Sigma} xy^2 \, dydz + yz^2 \, dxdz + zx^2 \, dxdy = \iiint\limits_{\Omega} (x^2 + y^2 + z^2) \, dV \] 其中，$\Omega$ 为上半球体。
步骤 2：转换到球坐标系
在球坐标系中，$x^2 + y^2 + z^2 = r^2$，体积元素 $dV = r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi$。积分范围为 $0 \leq r \leq a$，$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$，$0 \leq \phi \leq 2\pi$。因此，三重积分可以写为： \[ \iiint\limits_{\Omega} r^2 \cdot r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi = \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^a r^4 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi \]
步骤 3：计算三重积分
首先计算关于 $r$ 的积分： \[ \int_0^a r^4 \, dr = \frac{a^5}{5} \] 接着计算关于 $\theta$ 的积分： \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \, d\theta = 1 \] 最后计算关于 $\phi$ 的积分： \[ \int_0^{2\pi} d\phi = 2\pi \] 因此，三重积分的结果为： \[ \frac{a^5}{5} \cdot 1 \cdot 2\pi = \frac{2\pi a^5}{5} \]
步骤 4：考虑平面 $z=0$ 的贡献
由于平面 $z=0$ 的贡献为零，故原曲面积分为： \[ \frac{2\pi a^5}{5} - 0 = \frac{2\pi a^5}{5} \]
高斯公式（散度定理）将曲面积分转换为三重积分。对于给定的向量场 $\mathbf{F} = (xy^2, yz^2, zx^2)$，其散度为 $\nabla \cdot \mathbf{F} = x^2 + y^2 + z^2$。因此，原曲面积分可以转换为三重积分： \[ \iint\limits_{\Sigma} xy^2 \, dydz + yz^2 \, dxdz + zx^2 \, dxdy = \iiint\limits_{\Omega} (x^2 + y^2 + z^2) \, dV \] 其中，$\Omega$ 为上半球体。
步骤 2：转换到球坐标系
在球坐标系中，$x^2 + y^2 + z^2 = r^2$，体积元素 $dV = r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi$。积分范围为 $0 \leq r \leq a$，$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$，$0 \leq \phi \leq 2\pi$。因此，三重积分可以写为： \[ \iiint\limits_{\Omega} r^2 \cdot r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi = \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^a r^4 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi \]
步骤 3：计算三重积分
首先计算关于 $r$ 的积分： \[ \int_0^a r^4 \, dr = \frac{a^5}{5} \] 接着计算关于 $\theta$ 的积分： \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \, d\theta = 1 \] 最后计算关于 $\phi$ 的积分： \[ \int_0^{2\pi} d\phi = 2\pi \] 因此，三重积分的结果为： \[ \frac{a^5}{5} \cdot 1 \cdot 2\pi = \frac{2\pi a^5}{5} \]
步骤 4：考虑平面 $z=0$ 的贡献
由于平面 $z=0$ 的贡献为零，故原曲面积分为： \[ \frac{2\pi a^5}{5} - 0 = \frac{2\pi a^5}{5} \]