题目
3.设L是抛物线y=x^2上点O(0,0)与点A(1,1)之间的一段弧，则int_(L)sqrt(y)ds=____
3.设L是抛物线$y=x^{2}$上点O(0,0)与点A(1,1)之间的一段弧，则$\int_{L}\sqrt{y}ds=$____
题目解答
答案
将曲线 $L$ 表示为 $y = x^2$，则弧长元素 $ds = \sqrt{1 + (2x)^2} \, dx = \sqrt{1 + 4x^2} \, dx$。
曲线积分变为
\[
\int_{0}^{1} \sqrt{x^2} \sqrt{1 + 4x^2} \, dx = \int_{0}^{1} x \sqrt{1 + 4x^2} \, dx.
\]
令 $u = 1 + 4x^2$，则 $du = 8x \, dx$，积分上下限变为 $u: 1 \to 5$。
代入得
\[
\frac{1}{8} \int_{1}^{5} \sqrt{u} \, du = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} \left[ u^{3/2} \right]_{1}^{5} = \frac{1}{12} \left( 5\sqrt{5} - 1 \right).
\]
**答案：** $\boxed{\frac{1}{12} (5\sqrt{5} - 1)}$
解析
步骤 1：确定弧长元素 $ds$
抛物线 $y = x^2$ 上的弧长元素 $ds$ 可以通过公式 $ds = \sqrt{1 + (y')^2} \, dx$ 计算，其中 $y' = \frac{dy}{dx}$。对于 $y = x^2$，有 $y' = 2x$，因此 $ds = \sqrt{1 + (2x)^2} \, dx = \sqrt{1 + 4x^2} \, dx$。
步骤 2：将曲线积分转化为定积分
根据题目，需要计算 $\int_{L} \sqrt{y} \, ds$。将 $y = x^2$ 和 $ds = \sqrt{1 + 4x^2} \, dx$ 代入，得到 $\int_{0}^{1} \sqrt{x^2} \sqrt{1 + 4x^2} \, dx = \int_{0}^{1} x \sqrt{1 + 4x^2} \, dx$。
步骤 3：使用换元法计算定积分
令 $u = 1 + 4x^2$，则 $du = 8x \, dx$，积分上下限变为 $u: 1 \to 5$。代入得 $\frac{1}{8} \int_{1}^{5} \sqrt{u} \, du = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} \left[ u^{3/2} \right]_{1}^{5} = \frac{1}{12} \left( 5\sqrt{5} - 1 \right)$。
抛物线 $y = x^2$ 上的弧长元素 $ds$ 可以通过公式 $ds = \sqrt{1 + (y')^2} \, dx$ 计算，其中 $y' = \frac{dy}{dx}$。对于 $y = x^2$，有 $y' = 2x$，因此 $ds = \sqrt{1 + (2x)^2} \, dx = \sqrt{1 + 4x^2} \, dx$。
步骤 2：将曲线积分转化为定积分
根据题目，需要计算 $\int_{L} \sqrt{y} \, ds$。将 $y = x^2$ 和 $ds = \sqrt{1 + 4x^2} \, dx$ 代入，得到 $\int_{0}^{1} \sqrt{x^2} \sqrt{1 + 4x^2} \, dx = \int_{0}^{1} x \sqrt{1 + 4x^2} \, dx$。
步骤 3：使用换元法计算定积分
令 $u = 1 + 4x^2$，则 $du = 8x \, dx$，积分上下限变为 $u: 1 \to 5$。代入得 $\frac{1}{8} \int_{1}^{5} \sqrt{u} \, du = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} \left[ u^{3/2} \right]_{1}^{5} = \frac{1}{12} \left( 5\sqrt{5} - 1 \right)$。