题目
[例15](2022,数一,数二)已知数列(xn),其中 -dfrac (pi )(2)leqslant (x)_(n)leqslant dfrac (pi )(2), 则-|||-(A)当limcos(sinxn)存在时,limxn存在.-|||-(B)当limsin(cos xn)存在时,limxn存在.-|||-∞-|||-(C)当limcos(sinxn)存在时,limsinxn存在,但limxn不一定存在.-|||-∞ ∞-|||-(D)当limsin(cos xn)存在时,limcosxn存在,但limxn不一定存在.
题目解答
答案
C. 当limcos(sinxn)存在时,limsinxn存在,但limxn不一定存在.
解析
步骤 1：分析选项 (A)
设 $x_n = (-1)^n \frac{\pi}{4}$，则 $-\frac{\pi}{2} \leq x_n \leq \frac{\pi}{2}$。此时，$\lim_{n \to \infty} \cos(\sin x_n) = \cos(\sin \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\sqrt{2}}{2})$ 存在，但 $\lim_{n \to \infty} x_n$ 不存在，因为 $x_n$ 在 $-\frac{\pi}{4}$ 和 $\frac{\pi}{4}$ 之间交替。因此，(A) 错误。
步骤 2：分析选项 (B)
设 $x_n = (-1)^n \frac{\pi}{4}$，则 $-\frac{\pi}{2} \leq x_n \leq \frac{\pi}{2}$。此时，$\lim_{n \to \infty} \sin(\cos x_n) = \sin(\cos \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\sqrt{2}}{2})$ 存在，但 $\lim_{n \to \infty} x_n$ 不存在，因为 $x_n$ 在 $-\frac{\pi}{4}$ 和 $\frac{\pi}{4}$ 之间交替。因此，(B) 错误。
步骤 3：分析选项 (C)
设 $x_n = (-1)^n \frac{\pi}{4}$，则 $-\frac{\pi}{2} \leq x_n \leq \frac{\pi}{2}$。此时，$\lim_{n \to \infty} \cos(\sin x_n) = \cos(\sin \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\sqrt{2}}{2})$ 存在，但 $\lim_{n \to \infty} x_n$ 不存在，因为 $x_n$ 在 $-\frac{\pi}{4}$ 和 $\frac{\pi}{4}$ 之间交替。然而，$\lim_{n \to \infty} \sin x_n$ 存在，因为 $\sin x_n$ 在 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 之间交替。因此，(C) 正确。
步骤 4：分析选项 (D)
设 $x_n = (-1)^n \frac{\pi}{4}$，则 $-\frac{\pi}{2} \leq x_n \leq \frac{\pi}{2}$。此时，$\lim_{n \to \infty} \sin(\cos x_n) = \sin(\cos \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\sqrt{2}}{2})$ 存在，但 $\lim_{n \to \infty} \cos x_n$ 不存在，因为 $\cos x_n$ 在 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 和 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 之间交替。因此，(D) 错误。
设 $x_n = (-1)^n \frac{\pi}{4}$，则 $-\frac{\pi}{2} \leq x_n \leq \frac{\pi}{2}$。此时，$\lim_{n \to \infty} \cos(\sin x_n) = \cos(\sin \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\sqrt{2}}{2})$ 存在，但 $\lim_{n \to \infty} x_n$ 不存在，因为 $x_n$ 在 $-\frac{\pi}{4}$ 和 $\frac{\pi}{4}$ 之间交替。因此，(A) 错误。
步骤 2：分析选项 (B)
设 $x_n = (-1)^n \frac{\pi}{4}$，则 $-\frac{\pi}{2} \leq x_n \leq \frac{\pi}{2}$。此时，$\lim_{n \to \infty} \sin(\cos x_n) = \sin(\cos \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\sqrt{2}}{2})$ 存在，但 $\lim_{n \to \infty} x_n$ 不存在，因为 $x_n$ 在 $-\frac{\pi}{4}$ 和 $\frac{\pi}{4}$ 之间交替。因此，(B) 错误。
步骤 3：分析选项 (C)
设 $x_n = (-1)^n \frac{\pi}{4}$，则 $-\frac{\pi}{2} \leq x_n \leq \frac{\pi}{2}$。此时，$\lim_{n \to \infty} \cos(\sin x_n) = \cos(\sin \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\sqrt{2}}{2})$ 存在，但 $\lim_{n \to \infty} x_n$ 不存在，因为 $x_n$ 在 $-\frac{\pi}{4}$ 和 $\frac{\pi}{4}$ 之间交替。然而，$\lim_{n \to \infty} \sin x_n$ 存在，因为 $\sin x_n$ 在 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 之间交替。因此，(C) 正确。
步骤 4：分析选项 (D)
设 $x_n = (-1)^n \frac{\pi}{4}$，则 $-\frac{\pi}{2} \leq x_n \leq \frac{\pi}{2}$。此时，$\lim_{n \to \infty} \sin(\cos x_n) = \sin(\cos \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\sqrt{2}}{2})$ 存在，但 $\lim_{n \to \infty} \cos x_n$ 不存在，因为 $\cos x_n$ 在 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 和 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 之间交替。因此，(D) 错误。