题目
lim _(xarrow 0)dfrac (tan x-x)(x-sin x)=______.
______.
题目解答
答案
因为当
时，
的泰勒公式为
，
的泰勒公式为
，故本题可有
，
，得
，所以答案为
。
解析
步骤 1：使用泰勒公式展开
根据泰勒公式，当$x$接近于0时，$\tan x$和$\sin x$可以分别展开为：
$\tan x = x + \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)$
$\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$
步骤 2：代入原式
将上述泰勒展开式代入原式，得到：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\tan x-x}{x-\sin x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x + \dfrac{x^3}{3} + o(x^3) - x}{x - (x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3))}$
步骤 3：化简并求极限
化简上述表达式，得到：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac{x^3}{3} + o(x^3)}{\dfrac{x^3}{6} + o(x^3)}$
由于$x$趋近于0时，$o(x^3)$项趋于0，因此可以忽略，得到：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac{x^3}{3}}{\dfrac{x^3}{6}} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{3} \cdot \dfrac {6}{1} = -2$
根据泰勒公式，当$x$接近于0时，$\tan x$和$\sin x$可以分别展开为：
$\tan x = x + \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)$
$\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$
步骤 2：代入原式
将上述泰勒展开式代入原式，得到：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\tan x-x}{x-\sin x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x + \dfrac{x^3}{3} + o(x^3) - x}{x - (x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3))}$
步骤 3：化简并求极限
化简上述表达式，得到：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac{x^3}{3} + o(x^3)}{\dfrac{x^3}{6} + o(x^3)}$
由于$x$趋近于0时，$o(x^3)$项趋于0，因此可以忽略，得到：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac{x^3}{3}}{\dfrac{x^3}{6}} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{3} \cdot \dfrac {6}{1} = -2$