题目
若A与B相似,则 ()-|||-(A) lambda E-A=lambda E-B; (B) |lambda E+A|=|lambda E+B| ;-|||-(C) '=B'; (D) ^-1=(B)^-1
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解相似矩阵的定义
两个矩阵A和B相似，意味着存在一个可逆矩阵P，使得$B = P^{-1}AP$。相似矩阵具有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量。
步骤 2：分析选项A
选项A表示$\lambda E-A=\lambda E-B$，即$A=B$。这显然不正确，因为相似矩阵不一定相等。
步骤 3：分析选项B
选项B表示$|\lambda E+A|=|\lambda E+B|$。由于A和B相似，它们有相同的特征多项式，即$|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$。因此，$|\lambda E+A|=|\lambda E+B|$是正确的。
步骤 4：分析选项C
选项C表示$A'=B'$，即A和B的转置相等。相似矩阵的转置不一定相等，因此这个选项不正确。
步骤 5：分析选项D
选项D表示${A}^{-1}={B}^{-1}$。相似矩阵的逆矩阵不一定相等，因此这个选项不正确。
两个矩阵A和B相似，意味着存在一个可逆矩阵P，使得$B = P^{-1}AP$。相似矩阵具有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量。
步骤 2：分析选项A
选项A表示$\lambda E-A=\lambda E-B$，即$A=B$。这显然不正确，因为相似矩阵不一定相等。
步骤 3：分析选项B
选项B表示$|\lambda E+A|=|\lambda E+B|$。由于A和B相似，它们有相同的特征多项式，即$|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$。因此，$|\lambda E+A|=|\lambda E+B|$是正确的。
步骤 4：分析选项C
选项C表示$A'=B'$，即A和B的转置相等。相似矩阵的转置不一定相等，因此这个选项不正确。
步骤 5：分析选项D
选项D表示${A}^{-1}={B}^{-1}$。相似矩阵的逆矩阵不一定相等，因此这个选项不正确。