3.计算三重积分 iint f((x)^2+(y)^2)dy, 其中Ω是由曲面 ^2+(y)^2=2z 及平面 z=2 所围成的-|||-闭区域.

步骤 1：确定积分区域
根据题目，积分区域是由曲面 ${x}^{2}+{y}^{2}=2z$ 和平面 $z=2$ 所围成的闭区域。曲面 ${x}^{2}+{y}^{2}=2z$ 可以看作是圆柱面在 $z$ 轴上的投影，而平面 $z=2$ 限制了 $z$ 的范围。因此，积分区域在 $z$ 方向上从 $0$ 到 $2$，在 $x$ 和 $y$ 方向上，由 ${x}^{2}+{y}^{2}=2z$ 确定。

步骤 2：转换为极坐标
为了简化积分，我们使用极坐标。在极坐标系中，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$z=z$，$dV=rdrd\theta dz$。曲面 ${x}^{2}+{y}^{2}=2z$ 在极坐标系中变为 $r^2=2z$，即 $r=\sqrt{2z}$。因此，$r$ 的范围是 $0$ 到 $\sqrt{2z}$，$\theta$ 的范围是 $0$ 到 $2\pi$，$z$ 的范围是 $0$ 到 $2$。

步骤 3：计算三重积分
将积分区域和被积函数转换为极坐标形式，计算三重积分：
$$
\iiint_{\Omega} (x^2+y^2) dV = \int_{0}^{2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{2z}} r^2 \cdot r dr d\theta dz
$$
$$
= \int_{0}^{2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{2z}} r^3 dr d\theta dz
$$
$$
= \int_{0}^{2} \int_{0}^{2\pi} \left[\frac{1}{4}r^4\right]_{0}^{\sqrt{2z}} d\theta dz
$$
$$
= \int_{0}^{2} \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4}(\sqrt{2z})^4 d\theta dz
$$
$$
= \int_{0}^{2} \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} \cdot 4z^2 d\theta dz
$$
$$
= \int_{0}^{2} \int_{0}^{2\pi} z^2 d\theta dz
$$
$$
= \int_{0}^{2} 2\pi z^2 dz
$$
$$
= 2\pi \int_{0}^{2} z^2 dz
$$
$$
= 2\pi \left[\frac{1}{3}z^3\right]_{0}^{2}
$$
$$
= 2\pi \cdot \frac{1}{3} \cdot 8
$$
$$
= \frac{16}{3}\pi
$$