题目
31.设 f(x)= sin dfrac {x)(3) xneq 0 a x=0-|||-D 3
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数在x=0处的极限
为了使函数f(x)在x=0处连续，我们需要计算当x趋近于0时，函数f(x)的极限值。根据题目，当x不等于0时，f(x) = $\dfrac{1}{x}\sin \dfrac{x}{3}$。因此，我们需要计算 $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}\sin \dfrac{x}{3}$。
步骤 2：使用等价无穷小替换
当x趋近于0时，$\sin \dfrac{x}{3}$ 可以用 $\dfrac{x}{3}$ 替换，因为当x趋近于0时，$\sin \dfrac{x}{3}$ 和 $\dfrac{x}{3}$ 是等价无穷小。因此，$\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}\sin \dfrac{x}{3} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{x}{3} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}$。
步骤 3：确定a的值
为了使函数f(x)在x=0处连续，我们需要使f(0)等于当x趋近于0时，函数f(x)的极限值。因此，a = $\dfrac{1}{3}$。
为了使函数f(x)在x=0处连续，我们需要计算当x趋近于0时，函数f(x)的极限值。根据题目，当x不等于0时，f(x) = $\dfrac{1}{x}\sin \dfrac{x}{3}$。因此，我们需要计算 $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}\sin \dfrac{x}{3}$。
步骤 2：使用等价无穷小替换
当x趋近于0时，$\sin \dfrac{x}{3}$ 可以用 $\dfrac{x}{3}$ 替换，因为当x趋近于0时，$\sin \dfrac{x}{3}$ 和 $\dfrac{x}{3}$ 是等价无穷小。因此，$\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}\sin \dfrac{x}{3} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{x}{3} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}$。
步骤 3：确定a的值
为了使函数f(x)在x=0处连续，我们需要使f(0)等于当x趋近于0时，函数f(x)的极限值。因此，a = $\dfrac{1}{3}$。