题目
已知实二次型f(x_(1)，x_(2)，x_(3))=x_(1)^2+4x_(2)^2+4x_(3)^2+2lambda x_(1)x_(2)-2x_(1)x_(3)+4x_(2)x_(3)是正定二次型，则lambda 的取值范围是＿＿＿.
已知实二次型$f(x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3})=x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}+4x_{3}^{2}+2\lambda x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3}$是正定二次型，则$\lambda $的取值范围是＿＿＿.
题目解答
答案
因为已知实二次型$f(x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3})=x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}+4x_{3}^{2}+2\lambda x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3}$是正定二次型，
所以该二次型的矩阵$ 1 \lambda -1 \lambda 4 2 -1 2 4 $的各阶顺序主子式行列式值皆大于零，
所以.$ 1 . \gt 0$，$. 1 \lambda \lambda 4 .=4-\lambda ^{2} \gt 0$，$. 1 \lambda -1 \lambda 4 2 -1 2 4 .=8-4\lambda -4\lambda ^{2} \gt 0$
所以$\lambda $的取值范围为：$-2 \lt \lambda \lt 1$
解析
步骤 1：确定二次型的矩阵
二次型$f(x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3})=x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}+4x_{3}^{2}+2\lambda x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3}$的矩阵形式为$A = \begin{pmatrix} 1 & \lambda & -1 \\ \lambda & 4 & 2 \\ -1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$。
步骤 2：计算各阶顺序主子式
- 一阶主子式：$|1| = 1 > 0$
- 二阶主子式：$|1 \lambda \\ \lambda 4| = 4 - \lambda^2 > 0$
- 三阶主子式：$|1 \lambda -1 \\ \lambda 4 2 \\ -1 2 4| = 8 - 4\lambda - 4\lambda^2 > 0$
步骤 3：求解不等式
- 从二阶主子式$4 - \lambda^2 > 0$，得到$-2 < \lambda < 2$。
- 从三阶主子式$8 - 4\lambda - 4\lambda^2 > 0$，得到$-2 < \lambda < 1$。
二次型$f(x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3})=x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}+4x_{3}^{2}+2\lambda x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3}$的矩阵形式为$A = \begin{pmatrix} 1 & \lambda & -1 \\ \lambda & 4 & 2 \\ -1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$。
步骤 2：计算各阶顺序主子式
- 一阶主子式：$|1| = 1 > 0$
- 二阶主子式：$|1 \lambda \\ \lambda 4| = 4 - \lambda^2 > 0$
- 三阶主子式：$|1 \lambda -1 \\ \lambda 4 2 \\ -1 2 4| = 8 - 4\lambda - 4\lambda^2 > 0$
步骤 3：求解不等式
- 从二阶主子式$4 - \lambda^2 > 0$，得到$-2 < \lambda < 2$。
- 从三阶主子式$8 - 4\lambda - 4\lambda^2 > 0$，得到$-2 < \lambda < 1$。