计算下列极限lim _(narrow infty )dfrac (1)({n)^2}(sqrt (n)+sqrt (2n)+... +sqrt ({n)^2})

步骤 1：将极限表达式转换为定积分形式
观察给定的极限表达式，可以发现它与定积分的定义形式相似。定积分的定义形式为：
$S=\dfrac {1}{n}f(\dfrac {1}{n})+\dfrac {1}{n}f(\dfrac {2}{n})+\cdots +\dfrac {1}{n}f(\dfrac {n}{n})$
$={\int }_{0}^{1}f(x)dx$
步骤 2：将给定的极限表达式与定积分定义形式对应
将给定的极限表达式与定积分定义形式对应，可以得到：
$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{{n}^{2}}(\sqrt {n}+\sqrt {2n}+\cdots +\sqrt {{n}^{2}})$
$=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{n}(\sqrt {\dfrac {1}{n}}+\sqrt {\dfrac {2}{n}}+\cdots +\sqrt {\dfrac {n}{n}})$
步骤 3：计算定积分
根据定积分的定义，可以将上述极限表达式转换为定积分形式：
$={\int }_{0}^{1}\sqrt {x}dx$
步骤 4：计算定积分的值
计算定积分的值，可以得到：
$={\int }_{0}^{1}\sqrt {x}dx=\dfrac {2}{3}{x}^{\dfrac {3}{2}}{|}_{0}^{1}=\dfrac {2}{3}$