题目
求指导本题解题过程，谢谢您！5、计算 =iint dydz-ydzdx+(z+1)dxdy, 其中∑是球面 ^2+(y)^2+(z)^2=(R)^2 的-|||-下半部分的下侧.
求指导本题解题过程，谢谢您！
题目解答
答案
见解析
解析
步骤 1：确定积分区域和被积函数
题目中给出的积分区域是球面 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={R}^{2}$ 的下半部分的下侧，被积函数为 $dydz-ydzdx+(z+1)dxdy$。
步骤 2：应用高斯公式
由于积分区域是闭合曲面的一部分，我们可以考虑使用高斯公式（散度定理）来简化计算。高斯公式表明，对于一个闭合曲面S，其内部的体积V，以及定义在V上的向量场$\vec{F}$，有
$$\iint_{S} \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_{V} \nabla \cdot \vec{F} dV$$
其中，$\nabla \cdot \vec{F}$是向量场$\vec{F}$的散度。
步骤 3：计算散度
将被积函数写成向量场的形式，即$\vec{F} = (z+1, -y, 1)$，计算其散度：
$$\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial (z+1)}{\partial x} + \frac{\partial (-y)}{\partial y} + \frac{\partial 1}{\partial z} = 0 - 1 + 0 = -1$$
步骤 4：计算体积积分
根据高斯公式，原积分可以转化为体积积分：
$$I = \iiint_{V} -1 dV = -\iiint_{V} dV$$
其中，$V$是球体的下半部分，其体积为$\frac{2}{3}\pi R^3$的一半，即$\frac{1}{3}\pi R^3$。
步骤 5：计算最终结果
将体积代入，得到：
$$I = -\frac{1}{3}\pi R^3$$
但注意到题目中积分区域是球面的下半部分的下侧，因此，积分结果应为球体体积的负值，即：
$$I = -\pi R^2$$
题目中给出的积分区域是球面 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={R}^{2}$ 的下半部分的下侧，被积函数为 $dydz-ydzdx+(z+1)dxdy$。
步骤 2：应用高斯公式
由于积分区域是闭合曲面的一部分，我们可以考虑使用高斯公式（散度定理）来简化计算。高斯公式表明，对于一个闭合曲面S，其内部的体积V，以及定义在V上的向量场$\vec{F}$，有
$$\iint_{S} \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_{V} \nabla \cdot \vec{F} dV$$
其中，$\nabla \cdot \vec{F}$是向量场$\vec{F}$的散度。
步骤 3：计算散度
将被积函数写成向量场的形式，即$\vec{F} = (z+1, -y, 1)$，计算其散度：
$$\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial (z+1)}{\partial x} + \frac{\partial (-y)}{\partial y} + \frac{\partial 1}{\partial z} = 0 - 1 + 0 = -1$$
步骤 4：计算体积积分
根据高斯公式，原积分可以转化为体积积分：
$$I = \iiint_{V} -1 dV = -\iiint_{V} dV$$
其中，$V$是球体的下半部分，其体积为$\frac{2}{3}\pi R^3$的一半，即$\frac{1}{3}\pi R^3$。
步骤 5：计算最终结果
将体积代入，得到：
$$I = -\frac{1}{3}\pi R^3$$
但注意到题目中积分区域是球面的下半部分的下侧，因此，积分结果应为球体体积的负值，即：
$$I = -\pi R^2$$