7.lim_(xtoinfty)(3x^4+4x-9)/(2x^9)+8x^(2+1)

为了求解极限 $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{4}+4x-9}{2x^{9}+8x^{2}+1}$，我们可以通过将分子和分母同时除以 $x^9$ 来简化表达式。这样做的目的是使分子和分母中的最高次项变为常数，从而更容易求解极限。 首先，将分子和分母同时除以 $x^9$： \[ \lim_{x\to\infty}\frac{3x^{4}+4x-9}{2x^{9}+8x^{2}+1} = \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{3x^4}{x^9} + \frac{4x}{x^9} - \frac{9}{x^9}}{\frac{2x^9}{x^9} + \frac{8x^2}{x^9} + \frac{1}{x^9}} \] 简化每个项，我们得到： \[ \lim_{x\to\infty}\frac{3x^{-5} + 4x^{-8} - 9x^{-9}}{2 + 8x^{-7} + x^{-9}} \] 当 $x$ 趋于无穷大时， $x^{-5}$, $x^{-8}$, $x^{-9}$, $x^{-7}$ 和 $x^{-9}$ 都趋于 0。因此，极限变为： \[ \frac{0 + 0 - 0}{2 + 0 + 0} = \frac{0}{2} = 0 \] 所以，极限 $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{4}+4x-9}{2x^{9}+8x^{2}+1}$ 的值是 $\boxed{0}$。