题目
若齐次线性方程组中方程的个数大于未知量的个数,则该方程只有零解。( )
若齐次线性方程组中方程的个数大于未知量的个数,则该方程只有零解。( )
题目解答
答案
错误
解析
步骤 1:理解齐次线性方程组
齐次线性方程组是指所有方程的常数项均为0的线性方程组。形式上,可以表示为\(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\),其中\(A\)是系数矩阵,\(\mathbf{x}\)是未知量向量,\(\mathbf{0}\)是零向量。
步骤 2:分析方程个数与未知量个数的关系
当方程的个数大于未知量的个数时,即\(A\)的行数大于列数,这意味着方程组的系数矩阵\(A\)是一个“高瘦”的矩阵。这种情况下,方程组的解空间可能不是零维的,即可能有非零解。
步骤 3:考虑解的存在性
根据线性代数理论,如果方程的个数大于未知量的个数,方程组的系数矩阵\(A\)的秩可能小于未知量的个数,这意味着方程组可能有无穷多解,包括非零解。只有当系数矩阵\(A\)的秩等于未知量的个数时,方程组才只有零解。
齐次线性方程组是指所有方程的常数项均为0的线性方程组。形式上,可以表示为\(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\),其中\(A\)是系数矩阵,\(\mathbf{x}\)是未知量向量,\(\mathbf{0}\)是零向量。
步骤 2:分析方程个数与未知量个数的关系
当方程的个数大于未知量的个数时,即\(A\)的行数大于列数,这意味着方程组的系数矩阵\(A\)是一个“高瘦”的矩阵。这种情况下,方程组的解空间可能不是零维的,即可能有非零解。
步骤 3:考虑解的存在性
根据线性代数理论,如果方程的个数大于未知量的个数,方程组的系数矩阵\(A\)的秩可能小于未知量的个数,这意味着方程组可能有无穷多解,包括非零解。只有当系数矩阵\(A\)的秩等于未知量的个数时,方程组才只有零解。