[题目]设线性方程组 _(1)+(X)_(2)-(X)_(3)=-1-|||-(X)_(1)+K(X)_(2)-2(X)_(3)=0-|||-(X)_(1)+2(X)_(2)+(X)_(3)=K-|||-(1)K为何值时,方程组有唯一解、无解.-|||-(2)K为何值时,方程组有无穷多解?并求出其通-|||-解.

步骤 1：确定方程组的系数矩阵和增广矩阵
方程组的系数矩阵为：
$$
A = \begin{pmatrix}
2 & K & -2 \\
K & 2 & 1
\end{pmatrix}
$$
增广矩阵为：
$$
\begin{pmatrix}
2 & K & -2 & 0 \\
K & 2 & 1 & K
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：计算系数矩阵的行列式
系数矩阵的行列式为：
$$
\det(A) = 2 \cdot 2 - K \cdot K = 4 - K^2
$$
步骤 3：根据行列式判断方程组的解的情况
- 当 $\det(A) \neq 0$ 时，即 $4 - K^2 \neq 0$，方程组有唯一解。
- 当 $\det(A) = 0$ 时，即 $4 - K^2 = 0$，方程组可能有无穷多解或无解。
步骤 4：求解 $K$ 的值
- 当 $4 - K^2 \neq 0$ 时，即 $K \neq \pm 2$，方程组有唯一解。
- 当 $4 - K^2 = 0$ 时，即 $K = \pm 2$，需要进一步分析。
步骤 5：分析 $K = 2$ 和 $K = -2$ 的情况
- 当 $K = 2$ 时，方程组变为：
$$
\begin{cases}
2X_1 + 2X_2 - 2X_3 = 0 \\
2X_1 + 2X_2 + X_3 = 2
\end{cases}
$$
两个方程相减得到 $-3X_3 = -2$，即 $X_3 = \frac{2}{3}$，代入第一个方程得到 $2X_1 + 2X_2 - \frac{4}{3} = 0$，即 $X_1 + X_2 = \frac{2}{3}$，方程组有无穷多解。
- 当 $K = -2$ 时，方程组变为：
$$
\begin{cases}
2X_1 - 2X_2 - 2X_3 = 0 \\
-2X_1 + 2X_2 + X_3 = -2
\end{cases}
$$
两个方程相加得到 $-X_3 = -2$，即 $X_3 = 2$，代入第一个方程得到 $2X_1 - 2X_2 - 4 = 0$，即 $X_1 - X_2 = 2$，方程组有无穷多解。
步骤 6：求解无穷多解的通解
- 当 $K = 2$ 时，通解为：
$$
(X_1, X_2, X_3) = \left(\frac{2}{3} - t, t, \frac{2}{3}\right)
$$
- 当 $K = -2$ 时，通解为：
$$
(X_1, X_2, X_3) = (2 + t, t, 2)
$$