题目
计算lim _(xarrow infty )((dfrac {2-x)(3-x))}^x-|||-__
计算
题目解答
答案
满足（
无穷小)的无穷大次方
，其中
。
因此
解析
步骤 1：将给定的极限表达式进行变形
将$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {2-x}{3-x})}^{x}$变形为$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {3-x-1}{3-x})}^{x}$，即$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {1}{3-x})}^{x}$。
步骤 2：将变形后的表达式进一步变形
将$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {1}{3-x})}^{x}$变形为$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{x-3})}^{x}$。
步骤 3：应用极限公式
根据极限公式$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{x})}^{x}=e$，将$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{x-3})}^{x}$变形为$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{x-3})}^{x-3}\cdot {(1+\dfrac {1}{x-3})}^{3}$。
步骤 4：计算极限
$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{x-3})}^{x-3}=e$，$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{x-3})}^{3}=1$，因此$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{x-3})}^{x}=e$。
将$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {2-x}{3-x})}^{x}$变形为$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {3-x-1}{3-x})}^{x}$，即$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {1}{3-x})}^{x}$。
步骤 2：将变形后的表达式进一步变形
将$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {1}{3-x})}^{x}$变形为$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{x-3})}^{x}$。
步骤 3：应用极限公式
根据极限公式$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{x})}^{x}=e$，将$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{x-3})}^{x}$变形为$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{x-3})}^{x-3}\cdot {(1+\dfrac {1}{x-3})}^{3}$。
步骤 4：计算极限
$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{x-3})}^{x-3}=e$，$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{x-3})}^{3}=1$，因此$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{x-3})}^{x}=e$。