题目

计算lim _(xarrow infty )((dfrac {2-x)(3-x))}^x-|||-__

计算 $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2-x}{3-x}\right)^x$

题目解答

$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2-x}{3-x}\right)^x=\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{3-x}\right)^x=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x-3}\right)^x$

满足（ $1+$ 无穷小)的无穷大次方

$\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{3-x}\right)^x=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x-3}\right)^{x-3\bullet\frac{x}{x-3}}$

$=e^{\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x-3}}=e$ ，其中 $\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x-3}=1$ 。

因此

$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2-x}{3-x}\right)^x=e$

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理形如$(1+\frac{1}{n})^n$型的极限，以及如何将复杂表达式转化为标准形式。

解题核心思路：

变形化简：将原式中的分式$\frac{2-x}{3-x}$转化为$1+\frac{1}{x-3}$的形式，使其符合$(1+\frac{1}{n})^n$的结构。
拆分指数：将指数$x$拆分为$(x-3)+3$，利用极限的乘积性质，分别处理两部分的极限。
应用标准极限：利用$\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$的结论。

破题关键点：

步骤1：化简分式
原式为$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2-x}{3-x}\right)^x$。
将分子分母同乘以$-1$，得：
$\frac{2-x}{3-x} = \frac{x-2}{x-3} = 1 + \frac{1}{x-3}.$

步骤2：拆分指数
将原式改写为：
$\left(1 + \frac{1}{x-3}\right)^x = \left(1 + \frac{1}{x-3}\right)^{x-3} \cdot \left(1 + \frac{1}{x-3}\right)^3.$

步骤3：分别求极限

第一部分：$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x-3}\right)^{x-3} = e$（标准极限形式）。
第二部分：$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x-3}\right)^3 = 1^3 = 1$（因$\frac{1}{x-3} \to 0$）。

步骤4：合并结果
最终极限为：
$e \cdot 1 = e.$