题目
(2)微分方程 (y)^n+y'-y=0 的通解是 () .-|||-(A) =(C)_(1)(e)^x-(C)_(2)(e)^-2x (B) =(C)_(1)(e)^-x-(C)_(2)(e)^dfrac (x{2)}-|||-(C) =(C)_(1)(e)^x-(C)_(2)(e)^-dfrac (x{2)} (D) =(C)_(1)(e)^-x+(C)_(2)(e)^2x
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定特征方程
给定的微分方程是 $2y'' + y' - y = 0$。这是一个二阶线性齐次微分方程。我们可以通过求解其特征方程来找到通解。特征方程为 $2r^2 + r - 1 = 0$。
步骤 2：求解特征方程
解特征方程 $2r^2 + r - 1 = 0$，我们使用求根公式 $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $a = 2$，$b = 1$，$c = -1$。代入得 $r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}$。因此，$r_1 = \frac{1}{2}$，$r_2 = -1$。
步骤 3：写出通解
由于特征方程有两个不同的实根，微分方程的通解形式为 $y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$。将 $r_1$ 和 $r_2$ 的值代入，得到 $y = C_1e^{\frac{1}{2}x} + C_2e^{-x}$。但是，根据题目给出的选项，我们需要将 $e^{\frac{1}{2}x}$ 转换为 $e^{\frac{x}{2}}$ 的形式，因此通解可以写为 $y = C_1e^{-x} - C_2e^{\frac{x}{2}}$。
给定的微分方程是 $2y'' + y' - y = 0$。这是一个二阶线性齐次微分方程。我们可以通过求解其特征方程来找到通解。特征方程为 $2r^2 + r - 1 = 0$。
步骤 2：求解特征方程
解特征方程 $2r^2 + r - 1 = 0$，我们使用求根公式 $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $a = 2$，$b = 1$，$c = -1$。代入得 $r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}$。因此，$r_1 = \frac{1}{2}$，$r_2 = -1$。
步骤 3：写出通解
由于特征方程有两个不同的实根，微分方程的通解形式为 $y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$。将 $r_1$ 和 $r_2$ 的值代入，得到 $y = C_1e^{\frac{1}{2}x} + C_2e^{-x}$。但是，根据题目给出的选项，我们需要将 $e^{\frac{1}{2}x}$ 转换为 $e^{\frac{x}{2}}$ 的形式，因此通解可以写为 $y = C_1e^{-x} - C_2e^{\frac{x}{2}}$。