设f"(a)存在, '(a)neq 0 ,则 lim _(xarrow a)[ dfrac (1)(f'(a)(x-a))-dfrac (1)(f(x)-f(a))] = __

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及导数的定义、泰勒展开或洛必达法则的应用，以及二阶导数的运用。

解题核心思路：

1. 通分处理：将原式中的两个分式合并为一个分式，转化为分子分母的极限形式。
2. 观察不定型：分子和分母在$x \to a$时均趋近于0，属于$\frac{0}{0}$型不定式，可考虑洛必达法则或泰勒展开。
3. 关键步骤：通过两次求导（洛必达法则）或展开到二阶泰勒多项式，提取二阶导数$f''(a)$的信息，最终化简得到结果。

破题关键点：

• 识别分子中的二阶小量：分子$f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)$对应泰勒展开的二阶余项，其主要部分为$\frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2$。
• 分母的简化：利用$f(x)-f(a) \approx f'(a)(x-a)$近似分母，保留主部后化简。

步骤1：通分合并分式
原式可变形为：
$\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow a}\left[ \dfrac {1}{f'(a)(x-a)}-\dfrac {1}{f(x)-f(a)} \right] &= \lim _{x\rightarrow a} \dfrac{f(x)-f(a) - f'(a)(x-a)}{f'(a)(x-a)(f(x)-f(a))}.\end{aligned}$

步骤2：应用泰勒展开
将$f(x)$在$a$处展开到二阶：
$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \dfrac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 + o((x-a)^2).$
代入分子：
$f(x)-f(a) - f'(a)(x-a) = \dfrac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 + o((x-a)^2).$
分母近似为：
$f'(a)(x-a)\left[f'(a)(x-a) + \dfrac{1}{2}f''(a)(x-a)^2\right] \approx f'(a)^2(x-a)^2.$
因此，极限化简为：
$\lim _{x\rightarrow a} \dfrac{\dfrac{1}{2}f''(a)(x-a)^2}{f'(a)^2(x-a)^2} = \dfrac{f''(a)}{2f'(a)^2}.$

步骤3（替代方法）：洛必达法则
分子和分母均为$\frac{0}{0}$型，第一次求导：

• 分子导数：$f'(x) - f'(a)$
• 分母导数：$f'(a)\left[f(x)-f(a) + (x-a)f'(x)\right]$

再次应用洛必达法则（仍为$\frac{0}{0}$型）：

• 分子二阶导数：$f''(x)$
• 分母二阶导数：$f'(a)\left[2f'(x) + (x-a)f''(x)\right]$

代入$x=a$，得极限值：
$\dfrac{f''(a)}{2f'(a)^2}.$