题目
1要制造一个容积为a（a＞0）的长方体水箱（带盖），问长、宽和高各取何值时所造水箱表面积最小即用料最省。
1要制造一个容积为a（a＞0）的长方体水箱（带盖），问长、宽和高各取何值时所造水箱表面积最小即用料最省。
题目解答
答案
长宽高均为时材料最省。
解析
步骤 1：定义变量
设长方体水箱的长、宽、高分别为x、y、z，则其体积V = xyz = a，表面积S = 2(xy + xz + yz)。
步骤 2：利用体积公式
由体积公式V = xyz = a，可以得到z = a/(xy)。
步骤 3：将z代入表面积公式
将z = a/(xy)代入表面积公式S = 2(xy + xz + yz)，得到S = 2(xy + x(a/(xy)) + y(a/(xy))) = 2(xy + a/x + a/y)。
步骤 4：求导数
为了求出S的最小值，需要对S关于x和y求偏导数，并令其等于0。首先对x求偏导数，得到∂S/∂x = 2(y - a/x^2)。然后对y求偏导数，得到∂S/∂y = 2(x - a/y^2)。
步骤 5：求解方程组
令∂S/∂x = 0和∂S/∂y = 0，得到方程组y = a/x^2和x = a/y^2。将y = a/x^2代入x = a/y^2，得到x^3 = a，解得x = a^(1/3)。将x = a^(1/3)代入y = a/x^2，得到y = a^(1/3)。将x = a^(1/3)和y = a^(1/3)代入z = a/(xy)，得到z = a^(1/3)。
步骤 6：验证最小值
为了验证S在x = a^(1/3)、y = a^(1/3)、z = a^(1/3)时取得最小值，可以计算二阶偏导数。∂²S/∂x² = 4a/x^3，∂²S/∂y² = 4a/y^3，∂²S/∂x∂y = 0。将x = a^(1/3)、y = a^(1/3)代入，得到∂²S/∂x² = 4a^(1/3) > 0，∂²S/∂y² = 4a^(1/3) > 0，∂²S/∂x∂y = 0。因此，S在x = a^(1/3)、y = a^(1/3)、z = a^(1/3)时取得最小值。
设长方体水箱的长、宽、高分别为x、y、z，则其体积V = xyz = a，表面积S = 2(xy + xz + yz)。
步骤 2：利用体积公式
由体积公式V = xyz = a，可以得到z = a/(xy)。
步骤 3：将z代入表面积公式
将z = a/(xy)代入表面积公式S = 2(xy + xz + yz)，得到S = 2(xy + x(a/(xy)) + y(a/(xy))) = 2(xy + a/x + a/y)。
步骤 4：求导数
为了求出S的最小值，需要对S关于x和y求偏导数，并令其等于0。首先对x求偏导数，得到∂S/∂x = 2(y - a/x^2)。然后对y求偏导数，得到∂S/∂y = 2(x - a/y^2)。
步骤 5：求解方程组
令∂S/∂x = 0和∂S/∂y = 0，得到方程组y = a/x^2和x = a/y^2。将y = a/x^2代入x = a/y^2，得到x^3 = a，解得x = a^(1/3)。将x = a^(1/3)代入y = a/x^2，得到y = a^(1/3)。将x = a^(1/3)和y = a^(1/3)代入z = a/(xy)，得到z = a^(1/3)。
步骤 6：验证最小值
为了验证S在x = a^(1/3)、y = a^(1/3)、z = a^(1/3)时取得最小值，可以计算二阶偏导数。∂²S/∂x² = 4a/x^3，∂²S/∂y² = 4a/y^3，∂²S/∂x∂y = 0。将x = a^(1/3)、y = a^(1/3)代入，得到∂²S/∂x² = 4a^(1/3) > 0，∂²S/∂y² = 4a^(1/3) > 0，∂²S/∂x∂y = 0。因此，S在x = a^(1/3)、y = a^(1/3)、z = a^(1/3)时取得最小值。