题目
、证明:当 -1lt xlt 0 时, arcsin sqrt (1-{x)^2}-arctan dfrac (x)(sqrt {1-{x)^2}}=dfrac (pi )(2) .
题目解答
答案
本题考查反三角函数的运算，考查学生的计算能力，属于基础题.
设$\arcsin \sqrt {1-x^2}=y$，则$x=\sin y$，$0\lt y\lt \dfrac{\pi}{2}$，
所以$\arctan \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\arctan \dfrac{\sin y}{\sqrt{1-\sin^2y}}=\arctan \dfrac{\tan y}{1+\tan^2y}=\arctan \tan y=\arctan \left( \tan y\right)=\arctan \left( \tan \dfrac{\pi}{4}\right)=y$，
所以$\arcsin \sqrt {1-x^2}-\arctan \dfrac {x}{\sqrt {1-x^2}}=\dfrac {\pi }{2}$
设$\arcsin \sqrt {1-x^2}=y$，则$x=\sin y$，$0\lt y\lt \dfrac{\pi}{2}$，
所以$\arctan \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\arctan \dfrac{\sin y}{\sqrt{1-\sin^2y}}=\arctan \dfrac{\tan y}{1+\tan^2y}=\arctan \tan y=\arctan \left( \tan y\right)=\arctan \left( \tan \dfrac{\pi}{4}\right)=y$，
所以$\arcsin \sqrt {1-x^2}-\arctan \dfrac {x}{\sqrt {1-x^2}}=\dfrac {\pi }{2}$
解析
本题主要考查反三角函数的运算及相关性质，通过换元法简化表达式，利用反三角函数的取值范围和三角恒等变换进行证明。
步骤1：换元简化反三角函数
设 $\arcsin \sqrt{1 - x^2} = y$，根据反正弦函数的定义：
- $\sin y = \sqrt{1 - x^2}$（因为 $\arcsin$ 的值域为 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$，且 $\sqrt{1 - x^2} \geq 0$，故 $y \in [0, \frac{\pi}{2}]$）；
- 由 $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$，得 $\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = |x|$。
但 $-1 < x < 0$，故 $|x| = -x$，即 $\cos y = -x$，因此 $x = -\cos y$。
步骤2：化简反正切表达式
计算 $\arctan \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$：
- 分母 $\sqrt{1 - x^2} = \sin y$（已设），分子 $x = -\cos y$，故：
$\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{-\cos y}{\sin y} = -\cot y = -\tan\left(\frac{\pi}{2} - y\right) = \tan\left(y - \frac{\pi}{2}\right)$ - 反正切函数 $\arctan$ 的值域为 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，需判断 $y - \frac{\pi}{2}$ 的范围：
$y \in (0, \frac{\pi}{2})$（因 $x \neq 0$，$\sin y = \sqrt{1 - x^2} < 1$），故 $y - \frac{\pi}{2} \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$，满足 $\arctan$ 的值域，因此：
$\arctan\left(\tan\left(y - \frac{\pi}{2}\right)\right) = y - \frac{\pi}{2}$
步骤3：计算差值并验证
$\arcsin \sqrt{1 - x^2} - \arctan \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = y - \left(y - \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}$