6.已知f(x)在 x=0 处可导,且 '(0)=6, h≠0, 则 lim _(xarrow 0)dfrac (f(hx)-f(-hx))(3x)= __-|||-____.

考查要点：本题主要考查导数的定义及其应用，需要将给定的极限表达式转化为导数的形式进行求解。

解题核心思路：

1. 利用导数的定义，将分子中的$f(hx)$和$f(-hx)$分别展开，结合$f'(0)=6$的条件。
2. 拆分分子，将$f(hx)-f(-hx)$拆分为与$f(0)$相关的项，再分别处理。
3. 极限化简，通过代数变形和极限运算规则，最终得到结果。

破题关键点：

• 导数的定义：$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$，特别地，当$a=0$时，$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}$。
• 变量替换：通过引入中间变量（如$t = hx$），将原极限转化为与导数定义直接相关的形式。

步骤1：拆分分子
将分子$f(hx)-f(-hx)$拆分为与$f(0)$相关的项：
$\begin{aligned}f(hx) - f(-hx) &= [f(hx) - f(0)] - [f(-hx) - f(0)].\end{aligned}$

步骤2：应用导数的定义
根据导数的定义，当$x \to 0$时：
$\frac{f(hx) - f(0)}{hx} \to f'(0) = 6, \quad \frac{f(-hx) - f(0)}{-hx} \to f'(0) = 6.$

步骤3：代入并化简
将上述结果代入原极限表达式：
$\begin{aligned}\lim_{x \to 0} \frac{f(hx)-f(-hx)}{3x} &= \lim_{x \to 0} \frac{[f(hx)-f(0)] - [f(-hx)-f(0)]}{3x} \\&= \lim_{x \to 0} \left[ \frac{f(hx)-f(0)}{hx} \cdot \frac{h}{3} - \frac{f(-hx)-f(0)}{-hx} \cdot \frac{h}{3} \right] \\&= \frac{h}{3} \cdot 6 + \frac{h}{3} \cdot 6 \\&= \frac{12h}{3} = 4h.\end{aligned}$