题目
7. (5.0分)若离散型随机变量X的分布律为 P(X=k)=a(lambda^k)/(k!),k=0,1,2,...,lambda>0为常数，则常数a=____。
7. (5.0分)
若离散型随机变量X的分布律为 $P(X=k)=a\frac{\lambda^{k}}{k!},k=0,1,2,...,\lambda>0$为常数，则常数a=____。
题目解答
答案
为了确定常数 $a$，我们需要利用所有可能的 $X$ 值的概率之和等于1的性质。即，$\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$。
根据题目给出的分布律，我们有：
\[ P(X=k) = a \frac{\lambda^k}{k!}, \quad k=0,1,2,\ldots \]
因此，所有概率的和为：
\[ \sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = \sum_{k=0}^{\infty} a \frac{\lambda^k}{k!} \]
我们可以将常数 $a$ 从求和符号中提取出来：
\[ \sum_{k=0}^{\infty} a \frac{\lambda^k}{k!} = a \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} \]
我们知道，$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}$ 是 $e^{\lambda}$ 的泰勒级数展开，所以：
\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{\lambda} \]
因此，我们有：
\[ a \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = a e^{\lambda} \]
由于所有概率的和必须等于1，所以：
\[ a e^{\lambda} = 1 \]
解这个方程，我们得到：
\[ a = \frac{1}{e^{\lambda}} = e^{-\lambda} \]
Thus, the answer is:
\[
\boxed{e^{-\lambda}}
\]
解析
步骤 1：确定概率之和等于1
根据概率论的基本原理，所有可能事件的概率之和必须等于1。因此，对于离散型随机变量X，我们有： \[ \sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1 \]
步骤 2：代入给定的分布律
根据题目给出的分布律，我们有： \[ P(X=k) = a \frac{\lambda^k}{k!}, \quad k=0,1,2,\ldots \] 因此，所有概率的和为： \[ \sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = \sum_{k=0}^{\infty} a \frac{\lambda^k}{k!} \]
步骤 3：提取常数a并利用泰勒级数展开
我们可以将常数 $a$ 从求和符号中提取出来： \[ \sum_{k=0}^{\infty} a \frac{\lambda^k}{k!} = a \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} \] 我们知道，$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}$ 是 $e^{\lambda}$ 的泰勒级数展开，所以： \[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{\lambda} \]
步骤 4：求解常数a
因此，我们有： \[ a e^{\lambda} = 1 \] 解这个方程，我们得到： \[ a = \frac{1}{e^{\lambda}} = e^{-\lambda} \]
根据概率论的基本原理，所有可能事件的概率之和必须等于1。因此，对于离散型随机变量X，我们有： \[ \sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1 \]
步骤 2：代入给定的分布律
根据题目给出的分布律，我们有： \[ P(X=k) = a \frac{\lambda^k}{k!}, \quad k=0,1,2,\ldots \] 因此，所有概率的和为： \[ \sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = \sum_{k=0}^{\infty} a \frac{\lambda^k}{k!} \]
步骤 3：提取常数a并利用泰勒级数展开
我们可以将常数 $a$ 从求和符号中提取出来： \[ \sum_{k=0}^{\infty} a \frac{\lambda^k}{k!} = a \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} \] 我们知道，$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}$ 是 $e^{\lambda}$ 的泰勒级数展开，所以： \[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{\lambda} \]
步骤 4：求解常数a
因此，我们有： \[ a e^{\lambda} = 1 \] 解这个方程，我们得到： \[ a = \frac{1}{e^{\lambda}} = e^{-\lambda} \]