题目
设函数y=f(x)由方程xy+2ln x=y4所确定,求曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程.
设函数y=f(x)由方程xy+2ln x=y4所确定,求曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程.
题目解答
答案
正确答案:对方程xy+2ln x=y4两边关于x求导,得 y+xy'+=4y3y'将x=1,y=1代入上式,有y'(1)=1.故曲线在点(1,1)处的切线方程为 y-1=1·(x-1),即x—y=0.
解析
步骤 1：隐函数求导
对给定的方程xy + 2ln x = y^4，我们首先需要对两边关于x求导。根据隐函数求导法则，我们得到：
y + xy' + 2/x = 4y^3y'
步骤 2：代入点(1,1)
将点(1,1)代入上述导数方程中，得到：
1 + 1*y'(1) + 2/1 = 4*1^3*y'(1)
步骤 3：求解y'(1)
化简上述方程，得到：
1 + y'(1) + 2 = 4y'(1)
3 + y'(1) = 4y'(1)
3 = 3y'(1)
y'(1) = 1
步骤 4：求切线方程
已知点(1,1)和斜率y'(1) = 1，根据点斜式方程y - y1 = m(x - x1)，我们得到切线方程为：
y - 1 = 1(x - 1)
y - 1 = x - 1
y = x
对给定的方程xy + 2ln x = y^4，我们首先需要对两边关于x求导。根据隐函数求导法则，我们得到：
y + xy' + 2/x = 4y^3y'
步骤 2：代入点(1,1)
将点(1,1)代入上述导数方程中，得到：
1 + 1*y'(1) + 2/1 = 4*1^3*y'(1)
步骤 3：求解y'(1)
化简上述方程，得到：
1 + y'(1) + 2 = 4y'(1)
3 + y'(1) = 4y'(1)
3 = 3y'(1)
y'(1) = 1
步骤 4：求切线方程
已知点(1,1)和斜率y'(1) = 1，根据点斜式方程y - y1 = m(x - x1)，我们得到切线方程为：
y - 1 = 1(x - 1)
y - 1 = x - 1
y = x