题目

14.判断题(1分)设随机变量X具有数学期望EX和方差DX，则对任意的ε>0，都有P | X-EX | geqslant varepsilon >(DX)/(varepsilon ^2)成立.（）< div > A 对B 错

14.判断题(1分) 设随机变量X具有数学期望EX和方差DX，则对任意的ε>0，都有$P\left\{\left | X-EX \right | \geqslant \varepsilon \right \} >\frac{DX}{\varepsilon ^{2}}$成立.（） < div > A 对 B 错

题目解答

答案

为了判断给定的陈述是否正确，我们需要使用概率论中一个著名的不等式，即切比雪夫不等式。切比雪夫不等式表明，对于任何具有有限期望值 $ \mu $ 和有限非零方差 $ \sigma^2 $ 的随机变量 $ X $，以及任何正实数 $ \varepsilon $，以下不等式成立： \[ P(|X - \mu| \geq \varepsilon) \leq \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2} \] 在给定的陈述中，$ \mu $ 被表示为 $ EX $，$ \sigma^2 $ 被表示为 $ DX $。因此，切比雪夫不等式可以重写为： \[ P(|X - EX| \geq \varepsilon) \leq \frac{DX}{\varepsilon^2} \] 给定的陈述是： \[ P(|X - EX| \geq \varepsilon) > \frac{DX}{\varepsilon^2} \] 通过比较切比雪夫不等式和给定的陈述，我们可以看到给定的陈述与切比雪夫不等式相矛盾。切比雪夫不等式表明概率小于或等于 $ \frac{DX}{\varepsilon^2} $，而给定的陈述表明概率大于 $ \frac{DX}{\varepsilon^2} $。 因此，给定的陈述是错误的。 正确答案是 $\boxed{B}$。

解析

切比雪夫不等式是解决本题的核心。该不等式指出，对于任意随机变量$X$，其概率分布在距期望值$\mu$（即$EX$）的距离$\varepsilon$以外的部分的概率，不超过方差与$\varepsilon^2$的比值。题目中的结论与切比雪夫不等式直接矛盾，因此只需判断不等式方向是否正确即可。

根据切比雪夫不等式，对任意随机变量$X$，有：
$P\left\{\left| X - EX \right| \geqslant \varepsilon \right\} \leqslant \frac{DX}{\varepsilon^2}$
题目中的陈述为：
$P\left\{\left| X - EX \right| \geqslant \varepsilon \right\} > \frac{DX}{\varepsilon^2}$
显然，原题结论与切比雪夫不等式的结果方向相反。无论方差$DX$是否为零，原式均不成立。例如：

  • 当$DX = 0$时，$X$为常数，概率$P\left\{\left| X - EX \right| \geqslant \varepsilon \right\} = 0$，此时$0 > 0$不成立；
  • 当$DX > 0$时，根据切比雪夫不等式，概率$\leq \frac{DX}{\varepsilon^2}$，因此$> \frac{DX}{\varepsilon^2}$也不可能成立。