4.设X,Y是相互独立的随机变量,其概率密度分别为-|||-_(x)(x)= ) 1,0leqslant xleqslant 1 0, .-|||-求 =x+y 的概率密度.

考查要点：本题主要考查独立随机变量和的卷积公式的应用，需要根据X和Y的定义域分段讨论积分区间。

解题思路：

1. 确定Z的可能取值范围：由于X和Y均在[0,1]上，故Z=X+Y的取值范围为[0,2]。
2. 分段讨论积分区间：
   • 当0 ≤ z < 1时，x的取值范围为[0, z]；
   • 当1 ≤ z ≤ 2时，x的取值范围为[z−1, 1]。
3. 应用卷积公式：分别对两个区间进行积分，得到对应的概率密度表达式。

关键点：

• 独立性保证了联合密度为各自密度的乘积；
• 积分上下限需根据z的不同取值严格确定。

步骤1：确定Z的取值范围

X和Y均在[0,1]上，故Z = X + Y的取值范围为[0, 2]。

步骤2：分段讨论积分区间

1. 当0 ≤ z < 1时：

   • X的取值范围为[0, z]（因为Y = z − x ≥ 0要求x ≤ z）。
   • 积分区间为x ∈ [0, z]。

2. 当1 ≤ z ≤ 2时：

   • X的取值范围为[z − 1, 1]（因为Y = z − x ≤ 1要求x ≥ z − 1）。
   • 积分区间为x ∈ [z − 1, 1]。

步骤3：应用卷积公式计算

1. 0 ≤ z < 1：
   $f_Z(z) = \int_{0}^{z} f_X(x) f_Y(z - x) \, dx = \int_{0}^{z} 1 \cdot 2(z - x) \, dx = \left[ 2zx - x^2 \right]_{0}^{z} = z^2.$

2. 1 ≤ z ≤ 2：
   $f_Z(z) = \int_{z-1}^{1} 1 \cdot 2(z - x) \, dx = \left[ 2zx - x^2 \right]_{z-1}^{1} = (2z - 1) - \left[ 2z(z - 1) - (z - 1)^2 \right] = 2z - z^2.$

步骤4：综合结果

最终，Z的概率密度函数为：
$f_Z(z) = \begin{cases}z^2, & 0 \leq z < 1, \\2z - z^2, & 1 \leq z \leq 2, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$