题目
4.设X,Y是相互独立的随机变量,其概率密度分别为-|||-_(x)(x)= ) 1,0leqslant xleqslant 1 0, .-|||-求 =x+y 的概率密度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定Z的取值范围
由于X和Y的取值范围分别是[0,1]，所以Z=X+Y的取值范围是[0,2]。
步骤 2：利用卷积公式求Z的概率密度
Z的概率密度函数${f}_{Z}(z)$可以通过X和Y的概率密度函数${f}_{X}(x)$和${f}_{Y}(y)$的卷积得到，即
${f}_{Z}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} {f}_{X}(x) {f}_{Y}(z-x) dx$。
由于${f}_{X}(x)$和${f}_{Y}(y)$在[0,1]区间内非零，所以${f}_{Z}(z)$的积分区间需要根据z的取值范围进行调整。
步骤 3：分段计算${f}_{Z}(z)$
当$0 \leq z < 1$时，${f}_{Z}(z) = \int_{0}^{z} {f}_{X}(x) {f}_{Y}(z-x) dx = \int_{0}^{z} 1 \cdot 2(z-x) dx = 2z - z^2$。
当$1 \leq z \leq 2$时，${f}_{Z}(z) = \int_{z-1}^{1} {f}_{X}(x) {f}_{Y}(z-x) dx = \int_{z-1}^{1} 1 \cdot 2(z-x) dx = z^2 - 2z + 2$。
当$z < 0$或$z > 2$时，${f}_{Z}(z) = 0$。
由于X和Y的取值范围分别是[0,1]，所以Z=X+Y的取值范围是[0,2]。
步骤 2：利用卷积公式求Z的概率密度
Z的概率密度函数${f}_{Z}(z)$可以通过X和Y的概率密度函数${f}_{X}(x)$和${f}_{Y}(y)$的卷积得到，即
${f}_{Z}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} {f}_{X}(x) {f}_{Y}(z-x) dx$。
由于${f}_{X}(x)$和${f}_{Y}(y)$在[0,1]区间内非零，所以${f}_{Z}(z)$的积分区间需要根据z的取值范围进行调整。
步骤 3：分段计算${f}_{Z}(z)$
当$0 \leq z < 1$时，${f}_{Z}(z) = \int_{0}^{z} {f}_{X}(x) {f}_{Y}(z-x) dx = \int_{0}^{z} 1 \cdot 2(z-x) dx = 2z - z^2$。
当$1 \leq z \leq 2$时，${f}_{Z}(z) = \int_{z-1}^{1} {f}_{X}(x) {f}_{Y}(z-x) dx = \int_{z-1}^{1} 1 \cdot 2(z-x) dx = z^2 - 2z + 2$。
当$z < 0$或$z > 2$时，${f}_{Z}(z) = 0$。