曲面Σ为抛物面z=x^2+y^2介于z=0和z=1之间的部分，取下侧，计算积分I=iintlimits_(Sigma)xy^2dydz+ydxdx+x^2zdx dy.

为了计算曲面积分 $ I = \iint\limits_{\Sigma} xy^2 \, dy \, dz + yz \, dx \, dz + x^2 z \, dx \, dy $ 其中 $\Sigma$ 是抛物面 $ z = x^2 + y^2 $ 介于 $ z = 0 $ 和 $ z = 1 $ 之间的部分，取下侧，我们可以使用散度定理。散度定理指出，对于向量场 $\mathbf{F} = (P, Q, R)$，曲面积分 $\iint\limits_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS$ 等于体积积分 $\iiint\limits_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$，其中 $V$ 是由曲面 $\Sigma$ 所围成的体积。 这里，向量场是 $\mathbf{F} = (yz, x^2 z, xy^2)$。散度 $\nabla \cdot \mathbf{F}$ 的计算如下： \[ \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(yz) + \frac{\partial}{\partial y}(x^2 z) + \frac{\partial}{\partial z}(xy^2) = 0 + 0 + 0 = 0. \] 由于散度为零，体积积分 $\iiint\limits_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$ 为零。然而，散度定理适用于闭合曲面，而 $\Sigma$ 不是闭合的。我们需要加上抛物面的底面 $z=0$ 和顶面 $z=1$ 来形成闭合曲面。 曲面积分 $I$ 可以写为： \[ I = \iint\limits_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = -\iint\limits_{\Sigma_{\text{top}}} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS - \iint\limits_{\Sigma_{\text{bottom}}} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS, \] 其中 $\Sigma_{\text{top}}$ 是顶面 $z=1$，$\Sigma_{\text{bottom}}$ 是底面 $z=0$，并且 $\mathbf{n}$ 是曲面的单位法向量。 对于顶面 $z=1$，单位法向量 $\mathbf{n}$ 是 $(0,0,1)$。向量场 $\mathbf{F}$ 在 $z=1$ 处是 $(y, x^2, xy^2)$，因此点积 $\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = xy^2$。顶面的面积元素 $dS$ 是 $dA = dx \, dy$，因此积分是： \[ \iint\limits_{\Sigma_{\text{top}}} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iint\limits_{x^2 + y^2 \leq 1} xy^2 \, dx \, dy. \] 由于被积函数 $xy^2$ 是关于 $x$ 的奇函数，且积分区域 $x^2 + y^2 \leq 1$ 关于 $y$-轴对称，这个积分的值为零。 对于底面 $z=0$，单位法向量 $\mathbf{n}$ 是 $(0,0,-1)$。向量场 $\mathbf{F}$ 在 $z=0$ 处是 $(0, 0, 0)$，因此点积 $\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = 0$。底面的面积元素 $dS$ 是 $dA = dx \, dy$，因此积分是： \[ \iint\limits_{\Sigma_{\text{bottom}}} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iint\limits_{x^2 + y^2 \leq 1} 0 \, dx \, dy = 0. \] 因此，曲面积分 $I$ 的值为： \[ I = -\left(0 + 0\right) = 0. \] 最终答案是： \[ \boxed{0}. \]