题目
将函数f(x)=ln(1-x)展成x+2的幂级数，并写出可展区间.
将函数$f(x)=ln(1-x)$展成$x+2$的幂级数，并写出可展区间.
题目解答
答案
为了将函数 $ f(x) = \ln(1-x) $ 展成 $ x+2 $ 的幂级数，我们首先需要找到 $ f(x) $ 在 $ x = -2 $ 处的泰勒级数展开。泰勒级数的一般形式为：
\[
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(-2)}{n!} (x+2)^n
\]
首先，我们需要计算 $ f(x) $ 在 $ x = -2 $ 处的导数。函数 $ f(x) = \ln(1-x) $ 的一阶导数为：
\[
f'(x) = -\frac{1}{1-x}
\]
在 $ x = -2 $ 处计算 $ f'(x) $：
\[
f'(-2) = -\frac{1}{1-(-2)} = -\frac{1}{3}
\]
二阶导数为：
\[
f''(x) = -\frac{1}{(1-x)^2}
\]
在 $ x = -2 $ 处计算 $ f''(x) $：
\[
f''(-2) = -\frac{1}{(1+2)^2} = -\frac{1}{9}
\]
三阶导数为：
\[
f'''(x) = -\frac{2}{(1-x)^3}
\]
在 $ x = -2 $ 处计算 $ f'''(x) $：
\[
f'''(-2) = -\frac{2}{(1+2)^3} = -\frac{2}{27}
\]
我们观察到 $ n $-阶导数的一般形式为：
\[
f^{(n)}(x) = -\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}
\]
在 $ x = -2 $ 处计算 $ f^{(n)}(x) $：
\[
f^{(n)}(-2) = -\frac{(n-1)!}{(1+2)^n} = -\frac{(n-1)!}{3^n}
\]
现在，将这些导数代入泰勒级数公式，我们得到：
\[
f(x) = f(-2) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(-2)}{n!} (x+2)^n
\]
首先，计算 $ f(-2) $：
\[
f(-2) = \ln(1 - (-2)) = \ln 3
\]
因此，泰勒级数变为：
\[
f(x) = \ln 3 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-\frac{(n-1)!}{3^n}}{n!} (x+2)^n = \ln 3 - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{n 3^n}
\]
所以，函数 $ f(x) = \ln(1-x) $ 展成 $ x+2 $ 的幂级数为：
\[
\ln(1-x) = \ln 3 - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{n 3^n}
\]
接下来，我们需要确定这个级数的收敛区间。级数 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{n 3^n} $ 是一个幂级数，其收敛半径 $ R $ 可以使用比值判别法找到。设 $ a_n = \frac{1}{n 3^n} $，则：
\[
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{1}{(n+1) 3^{n+1}}}{\frac{1}{n 3^n}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n}{3(n+1)} \right| = \frac{1}{3}
\]
因此，收敛半径 $ R = 3 $。级数在 $ |x+2| < 3 $ 处收敛，即：
\[
-3 < x+2 < 3 \implies -5 < x < 1
\]
我们需要检查端点 $ x = -5 $ 和 $ x = 1 $ 处的收敛性。在 $ x = 1 $ 处，级数变为：
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1+2)^n}{n 3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n 3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
\]
这是调和级数，发散。在 $ x = -5 $ 处，级数变为：
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-5+2)^n}{n 3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^n}{n 3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}
\]
这是交错调和级数，收敛。因此，级数的收敛区间为：
\[
-5 \leq x < 1
\]
所以，函数 $ f(x) = \ln(1-x) $ 展成 $ x+2 $ 的幂级数为：
\[
\boxed{\ln 3 - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{n 3^n}}
\]
收敛区间为：
\[
\boxed{(-5, 1)}
\]