题目
2.设矩阵A= 3 0 0 0 0 1 4 0 4 0 0 3 试证明:矩阵 A-2E 可逆,并求其逆矩阵.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算矩阵 A-2E
首先，我们需要计算矩阵 A 减去 2 倍的单位矩阵 E。矩阵 E 是一个对角线元素为 1，其余元素为 0 的矩阵。对于 3x3 的矩阵，E 为 $\left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right.$。因此，2E 为 $\left (\begin{matrix} 2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{matrix} ) \right.$。将 A 减去 2E，我们得到：
\[ A-2E = \left (\begin{matrix} 3& 0& 0\\ 1& 4& 0\\ 0& 0& 3\end{matrix} ) \right. - \left (\begin{matrix} 2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{matrix} ) \right. = \left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right. \]
步骤 2：证明矩阵 A-2E 可逆
为了证明矩阵 A-2E 可逆，我们需要计算其行列式。如果行列式不为零，则矩阵可逆。矩阵 A-2E 的行列式为：
\[ |A-2E| = \left |\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} \right. | = 1 \times 2 \times 1 = 2 \neq 0 \]
因此，矩阵 A-2E 可逆。
步骤 3：求逆矩阵
为了求矩阵 A-2E 的逆矩阵，我们可以使用伴随矩阵法。首先，我们需要计算矩阵 A-2E 的伴随矩阵。伴随矩阵的元素是原矩阵元素的代数余子式。对于矩阵 A-2E，其伴随矩阵为：
\[ adj(A-2E) = \left (\begin{matrix} 2& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right. \]
然后，逆矩阵为伴随矩阵除以行列式：
\[ (A-2E)^{-1} = \frac{1}{|A-2E|} adj(A-2E) = \frac{1}{2} \left (\begin{matrix} 2& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right. = \left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& \frac{1}{2}\end{matrix} ) \right. \]
首先，我们需要计算矩阵 A 减去 2 倍的单位矩阵 E。矩阵 E 是一个对角线元素为 1，其余元素为 0 的矩阵。对于 3x3 的矩阵，E 为 $\left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right.$。因此，2E 为 $\left (\begin{matrix} 2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{matrix} ) \right.$。将 A 减去 2E，我们得到：
\[ A-2E = \left (\begin{matrix} 3& 0& 0\\ 1& 4& 0\\ 0& 0& 3\end{matrix} ) \right. - \left (\begin{matrix} 2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{matrix} ) \right. = \left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right. \]
步骤 2：证明矩阵 A-2E 可逆
为了证明矩阵 A-2E 可逆，我们需要计算其行列式。如果行列式不为零，则矩阵可逆。矩阵 A-2E 的行列式为：
\[ |A-2E| = \left |\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} \right. | = 1 \times 2 \times 1 = 2 \neq 0 \]
因此，矩阵 A-2E 可逆。
步骤 3：求逆矩阵
为了求矩阵 A-2E 的逆矩阵，我们可以使用伴随矩阵法。首先，我们需要计算矩阵 A-2E 的伴随矩阵。伴随矩阵的元素是原矩阵元素的代数余子式。对于矩阵 A-2E，其伴随矩阵为：
\[ adj(A-2E) = \left (\begin{matrix} 2& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right. \]
然后，逆矩阵为伴随矩阵除以行列式：
\[ (A-2E)^{-1} = \frac{1}{|A-2E|} adj(A-2E) = \frac{1}{2} \left (\begin{matrix} 2& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right. = \left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& \frac{1}{2}\end{matrix} ) \right. \]