题目
15、-|||-设向量组 _(1)=(1,2) , _(2)=(0,2) =(4,2), 则 () .-|||-α1,a2,β线性无关-|||-β不能由α1,α2线性表示-|||-β可由α1,α2线性表示,但表示法不惟一-|||-β可由α1,α2线性表示,且表示法惟一
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定向量组的线性关系
首先，我们需要确定向量 $\beta$ 是否可以由向量组 ${\alpha}_{1}$ 和 ${\alpha}_{2}$ 线性表示。为此，我们需要找到一组系数 $x$ 和 $y$，使得 $\beta = x{\alpha}_{1} + y{\alpha}_{2}$ 成立。即，我们需要解方程组：
$$
\begin{cases}
x + 0y = 4 \\
2x + 2y = 2
\end{cases}
$$
步骤 2：解方程组
解上述方程组，我们得到：
$$
\begin{cases}
x = 4 \\
2x + 2y = 2
\end{cases}
$$
将 $x = 4$ 代入第二个方程，得到：
$$
2(4) + 2y = 2 \\
8 + 2y = 2 \\
2y = -6 \\
y = -3
$$
因此，我们得到 $\beta = 4{\alpha}_{1} - 3{\alpha}_{2}$。
步骤 3：判断线性表示的唯一性
由于我们找到了一组特定的系数 $x = 4$ 和 $y = -3$，使得 $\beta = 4{\alpha}_{1} - 3{\alpha}_{2}$ 成立，且没有其他解，因此 $\beta$ 可以由 ${\alpha}_{1}$ 和 ${\alpha}_{2}$ 线性表示，且表示法唯一。
首先，我们需要确定向量 $\beta$ 是否可以由向量组 ${\alpha}_{1}$ 和 ${\alpha}_{2}$ 线性表示。为此，我们需要找到一组系数 $x$ 和 $y$，使得 $\beta = x{\alpha}_{1} + y{\alpha}_{2}$ 成立。即，我们需要解方程组：
$$
\begin{cases}
x + 0y = 4 \\
2x + 2y = 2
\end{cases}
$$
步骤 2：解方程组
解上述方程组，我们得到：
$$
\begin{cases}
x = 4 \\
2x + 2y = 2
\end{cases}
$$
将 $x = 4$ 代入第二个方程，得到：
$$
2(4) + 2y = 2 \\
8 + 2y = 2 \\
2y = -6 \\
y = -3
$$
因此，我们得到 $\beta = 4{\alpha}_{1} - 3{\alpha}_{2}$。
步骤 3：判断线性表示的唯一性
由于我们找到了一组特定的系数 $x = 4$ 和 $y = -3$，使得 $\beta = 4{\alpha}_{1} - 3{\alpha}_{2}$ 成立，且没有其他解，因此 $\beta$ 可以由 ${\alpha}_{1}$ 和 ${\alpha}_{2}$ 线性表示，且表示法唯一。