1.单选题1.1 若4×4矩阵A=(alpha_(1),gamma_(2),gamma_(3),gamma_(4)),B=(beta_(1),gamma_(2),gamma_(3),gamma_(4))其中|alpha,beta,gamma_(1),gamma_(2),gamma_(3),gamma_(4) 均为4维列向量，且已知行列式det(A)=4, det(B)=1则行列式det(A+B)=（）A. 25B. 40C. 41D. 50

考查要点：本题主要考查行列式的性质，特别是列向量的线性性质和公因子提取的应用。

解题核心思路：

1. 矩阵相加后的列结构分析：确定矩阵$A+B$的列向量形式，发现第二、三、四列均为原列的2倍。
2. 提取公因子：利用行列式的多列公因子提取性质，将行列式简化。
3. 行列式的线性性：将第一列的和拆分为两个行列式的和，分别对应已知的$\det(A)$和$\det(B)$。

破题关键点：

• 识别列的线性组合：通过列向量的加法拆分行列式。
• 灵活应用行列式性质：结合公因子提取和列线性性，将复杂行列式转化为已知值的组合。

步骤1：分析矩阵$A+B$的列结构

矩阵$A$和$B$的列向量分别为：
$A = (\alpha_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4), \quad B = (\beta_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4)$
相加后，$A+B$的列向量为：
$A+B = (\alpha_1 + \beta_1, \, 2\gamma_2, \, 2\gamma_3, \, 2\gamma_4)$

步骤2：提取公因子

第二、三、四列均有公因子2，提取后行列式变为：
$\det(A+B) = 2^3 \cdot \det(\alpha_1 + \beta_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4) = 8 \cdot \det(\alpha_1 + \beta_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4)$

步骤3：拆分行列式的列

利用行列式的列线性性，将第一列拆分为$\alpha_1$和$\beta_1$的和：
$\det(\alpha_1 + \beta_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4) = \det(\alpha_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4) + \det(\beta_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4)$

步骤4：代入已知行列式值

根据题意，$\det(A) = 4$和$\det(B) = 1$，即：
$\det(\alpha_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4) = 4, \quad \det(\beta_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4) = 1$
因此：
$\det(A+B) = 8 \cdot (4 + 1) = 8 \cdot 5 = 40$