题目

求lim _(xarrow 0)(dfrac (1+x)(1-{e)^-x}-dfrac (1)(x))。

求 $\lim_{x\rightarrow0}(\frac{1+x}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x})$ 。

题目解答

答案

由题意可知，

对于本题给出的极限 $\lim_{x\rightarrow0}(\frac{1+x}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x})$ ，

经过观察，

我们容易发现，

该极限式子显然属于两个基本式子相减所组成的形式，

∴即可得，

$\lim_{x\rightarrow0}(\frac{1+x}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x})$

$=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2+x-1+e^{-x}}{(1-e^{-x})x}$

$=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2x+1-e^{-x}}{1-e^{-x}+xe^{-x}}$

$=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2+e^{-x}}{2e^{-x}-xe^{-x}}$

$=\frac{3}{2}$

解析

步骤 1：观察极限形式
观察给出的极限$\lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {1+x}{1-{e}^{-x}}-\dfrac {1}{x})$，发现它是由两个基本式子相减所组成的形式。
步骤 2：化简极限表达式
将极限表达式化简为$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}+x-1+{e}^{-x}}{(1-{e}^{-x})x}$，这是通过通分和合并同类项得到的。
步骤 3：应用洛必达法则
由于直接代入$x=0$会导致分母为0，因此应用洛必达法则，对分子和分母分别求导，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2x+1-{e}^{-x}}{1-{e}^{-x}+x{e}^{-x}}$。
步骤 4：再次应用洛必达法则
由于上一步的结果仍然在$x=0$时导致分母为0，再次应用洛必达法则，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2+{e}^{-x}}{2{e}^{-x}-x{e}^{-x}}$。
步骤 5：计算极限值
将$x=0$代入上一步的结果，得到$\dfrac {3}{2}$。