设A为2阶矩阵，α 1 ，α 2 为线性无关的2维列向量，Aα 1 =0，Aα 2 =2α 1 +α 2 ，则A的非零特征值为___________．

考查要点：本题主要考查矩阵的特征值求解，涉及线性变换的矩阵表示、特征值的定义及性质。

解题核心思路：

1. 利用已知条件构造矩阵：通过向量α₁和α₂的线性组合，确定矩阵A在特定基下的表示。
2. 特征值的不变性：矩阵在不同基下的表示虽然不同，但特征值保持不变。
3. 直接求解特征方程：通过构造的矩阵形式，计算特征方程并求解非零特征值。

破题关键点：

• 由Aα₁=0可知，0是A的一个特征值。
• 通过Aα₂=2α₁+α₂，构造矩阵A在基{α₁, α₂}下的表示，进而求解特征值。

构造矩阵A的表示

以α₁和α₂为基向量，矩阵A的作用可表示为：

• 第一列对应Aα₁的坐标：Aα₁=0 → 第一列为$\begin{bmatrix}0 \\ 0\end{bmatrix}$。
• 第二列对应Aα₂的坐标：Aα₂=2α₁+α₂ → 第二列为$\begin{bmatrix}2 \\ 1\end{bmatrix}$。
  因此，矩阵A在基{α₁, α₂}下的表示为：
  $A = \begin{bmatrix}0 & 2 \\0 & 1\end{bmatrix}$

求解特征值

特征方程：
$\det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix}-\lambda & 2 \\0 & 1-\lambda\end{bmatrix} = (-\lambda)(1-\lambda) = 0$
解得特征值为$\lambda_1 = 0$，$\lambda_2 = 1$。
非零特征值为1。