函数=(x)^y在=(x)^y处的全微分=(x)^y______.

考查要点：本题主要考查二元函数全微分的计算，涉及偏导数的求解及全微分公式的应用。

解题核心思路：

1. 全微分公式：全微分$dz$由两个偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$与对应的变量变化$dx$、$dy$线性组合而成，即$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$。
2. 偏导数计算：
   • 对$x$求偏导：将$y$视为常数，利用幂函数求导法则。
   • 对$y$求偏导：将$x$视为常数，利用指数函数求导法则（需乘以$\ln x$）。
3. 代入点$(2,1)$：将$x=2$，$y=1$代入偏导数表达式，得到具体数值。

破题关键：

• 正确应用求导规则：区分对$x$和$y$求导时的不同处理方式。
• 代入数值时的准确性：注意指数运算和对数运算的正确性。

步骤1：计算偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$

将$y$视为常数，对$x$求导：
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( x^y \right) = y x^{y-1}.$

步骤2：计算偏导数$\frac{\partial z}{\partial y}$

将$x$视为常数，对$y$求导：
$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( x^y \right) = x^y \ln x.$

步骤3：代入点$(2,1)$

• $\frac{\partial z}{\partial x}$在$(2,1)$处的值：
  $\frac{\partial z}{\partial x} \bigg|_{(2,1)} = y x^{y-1} = 1 \cdot 2^{1-1} = 1 \cdot 2^0 = 1.$

• $\frac{\partial z}{\partial y}$在$(2,1)$处的值：
  $\frac{\partial z}{\partial y} \bigg|_{(2,1)} = x^y \ln x = 2^1 \cdot \ln 2 = 2 \ln 2.$

步骤4：构造全微分$dz$

将偏导数值代入全微分公式：
$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy = 1 \cdot dx + 2 \ln 2 \cdot dy = dx + 2 \ln 2 \, dy.$