题目
[题目]-|||-求函数 =(x)^2+dfrac (2)(x) 的极值与单调区间及其凹凸区间和拐点、渐近线.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数 $y={x}^{2}+\dfrac {2}{x}$ 的一阶导数和二阶导数，以便分析函数的单调性和凹凸性。
一阶导数 $y' = 2x - \dfrac{2}{x^2}$。
二阶导数 $y'' = 2 + \dfrac{4}{x^3}$。
步骤 2：求极值点
令一阶导数 $y' = 0$，解得 $x = 1$。因为 $x = -1$ 时，$y'$ 不为零，所以 $x = 1$ 是唯一可能的极值点。
当 $x > 1$ 时，$y' > 0$；当 $0 < x < 1$ 时，$y' < 0$。因此，$x = 1$ 是极小值点，极小值为 $y(1) = 3$。
步骤 3：求单调区间
根据一阶导数的符号，可以确定函数的单调区间。
当 $x > 1$ 时，$y' > 0$，函数单调递增。
当 $0 < x < 1$ 时，$y' < 0$，函数单调递减。
当 $x < 0$ 时，$y' < 0$，函数单调递减。
因此，单调增区间为 $(1, +\infty)$，单调减区间为 $(-\infty, 0)$ 和 $(0, 1)$。
步骤 4：求凹凸区间和拐点
令二阶导数 $y'' = 0$，解得 $x = -\sqrt[3]{2}$。因为 $x = 0$ 时，$y''$ 不存在，所以 $x = -\sqrt[3]{2}$ 是唯一可能的拐点。
当 $x < -\sqrt[3]{2}$ 时，$y'' > 0$，函数凹。
当 $-\sqrt[3]{2} < x < 0$ 时，$y'' < 0$，函数凸。
当 $x > 0$ 时，$y'' > 0$，函数凹。
因此，凹区间为 $(-\infty, -\sqrt[3]{2})$ 和 $(0, +\infty)$，凸区间为 $(-\sqrt[3]{2}, 0)$。拐点为 $(-\sqrt[3]{2}, 0)$。
步骤 5：求渐近线
因为 $\lim_{x \to 0} (x^2 + \dfrac{2}{x}) = \infty$，所以函数 $y = x^2 + \dfrac{2}{x}$ 有垂直渐近线 $x = 0$。
首先，我们需要求出函数 $y={x}^{2}+\dfrac {2}{x}$ 的一阶导数和二阶导数，以便分析函数的单调性和凹凸性。
一阶导数 $y' = 2x - \dfrac{2}{x^2}$。
二阶导数 $y'' = 2 + \dfrac{4}{x^3}$。
步骤 2：求极值点
令一阶导数 $y' = 0$，解得 $x = 1$。因为 $x = -1$ 时，$y'$ 不为零，所以 $x = 1$ 是唯一可能的极值点。
当 $x > 1$ 时，$y' > 0$；当 $0 < x < 1$ 时，$y' < 0$。因此，$x = 1$ 是极小值点，极小值为 $y(1) = 3$。
步骤 3：求单调区间
根据一阶导数的符号，可以确定函数的单调区间。
当 $x > 1$ 时，$y' > 0$，函数单调递增。
当 $0 < x < 1$ 时，$y' < 0$，函数单调递减。
当 $x < 0$ 时，$y' < 0$，函数单调递减。
因此，单调增区间为 $(1, +\infty)$，单调减区间为 $(-\infty, 0)$ 和 $(0, 1)$。
步骤 4：求凹凸区间和拐点
令二阶导数 $y'' = 0$，解得 $x = -\sqrt[3]{2}$。因为 $x = 0$ 时，$y''$ 不存在，所以 $x = -\sqrt[3]{2}$ 是唯一可能的拐点。
当 $x < -\sqrt[3]{2}$ 时，$y'' > 0$，函数凹。
当 $-\sqrt[3]{2} < x < 0$ 时，$y'' < 0$，函数凸。
当 $x > 0$ 时，$y'' > 0$，函数凹。
因此，凹区间为 $(-\infty, -\sqrt[3]{2})$ 和 $(0, +\infty)$，凸区间为 $(-\sqrt[3]{2}, 0)$。拐点为 $(-\sqrt[3]{2}, 0)$。
步骤 5：求渐近线
因为 $\lim_{x \to 0} (x^2 + \dfrac{2}{x}) = \infty$，所以函数 $y = x^2 + \dfrac{2}{x}$ 有垂直渐近线 $x = 0$。