(1) 2 0 3-|||-设向量组a1= -1 α2= 4 a3= -6 α4= 3-|||-3 1 5 4 则该向量组的一个最大无关-|||-2 -3 7 -1-|||-组为α1,α2,且 (alpha )_(3)=2(alpha )_(1)-(alpha )_(2), (alpha )_(4)=(alpha )_(1)+(alpha )_(2)-|||-A 对-|||-B)错

考查要点：本题主要考查向量组的最大无关组的判断，涉及线性相关与线性无关的概念，以及向量线性组合的表示。

解题核心思路：

1. 判断向量组中部分向量是否线性无关：若向量组中的某些向量线性无关，则它们可以构成最大无关组的基础。
2. 验证其他向量是否可被线性表示：若其余向量均可由该部分向量线性表示，则该部分即为最大无关组。

破题关键点：

• 题目已给出条件：$\alpha_3 = 2\alpha_1 - \alpha_2$，$\alpha_4 = \alpha_1 + \alpha_2$，说明$\alpha_3$和$\alpha_4$可由$\alpha_1$和$\alpha_2$线性表示。
• 需验证$\alpha_1$和$\alpha_2$是否线性无关：若线性无关，则$\{\alpha_1, \alpha_2\}$即为最大无关组。

步骤1：验证$\alpha_1$和$\alpha_2$是否线性无关

假设存在实数$k_1, k_2$，使得：
$k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 = 0$

将向量代入：
$k_1 \begin{bmatrix} 0 \\ -6 \\ 1 \end{bmatrix} + k_2 \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

得到方程组：

1. $0 \cdot k_1 + 3k_2 = 0$
2. $-6k_1 + 5k_2 = 0$
3. $k_1 + 4k_2 = 0$

解方程组：

• 由第1式得：$k_2 = 0$
• 代入第2式得：$-6k_1 = 0 \Rightarrow k_1 = 0$
• 第3式自动满足。

结论：唯一解为$k_1 = 0, k_2 = 0$，说明$\alpha_1$和$\alpha_2$线性无关。

步骤2：判断最大无关组

• $\alpha_3$和$\alpha_4$均可由$\alpha_1$和$\alpha_2$线性表示。
• $\alpha_1$和$\alpha_2$线性无关，且包含所有向量的生成关系。

结论：$\{\alpha_1, \alpha_2\}$是向量组的一个最大无关组。