题目
求微分方程 y'+2xy=2x 的通解 。
求微分方程 y'+2xy=2x 的通解 。
题目解答
答案
y'+2xy=2x 是一阶线性方程，用公式：y=e^(-2x)(C+∫2xe^(2x)dx)=Ce^(-2x)+1
解析
步骤 1：识别方程类型
给定的微分方程 y' + 2xy = 2x 是一阶线性微分方程，其中 y' 表示 y 对 x 的导数。一阶线性微分方程的一般形式为 y' + P(x)y = Q(x)，其中 P(x) 和 Q(x) 是 x 的函数。
步骤 2：确定 P(x) 和 Q(x)
对于方程 y' + 2xy = 2x，我们有 P(x) = 2x 和 Q(x) = 2x。
步骤 3：计算积分因子
一阶线性微分方程的积分因子为 e^(∫P(x)dx)。因此，积分因子为 e^(∫2xdx) = e^(x^2)。
步骤 4：应用积分因子
将积分因子 e^(x^2) 乘以方程的两边，得到 e^(x^2)y' + 2xe^(x^2)y = 2xe^(x^2)。左边是 (e^(x^2)y)' 的导数，因此方程可以写为 (e^(x^2)y)' = 2xe^(x^2)。
步骤 5：积分求解
对等式两边积分，得到 e^(x^2)y = ∫2xe^(x^2)dx + C。为了计算积分，我们使用换元法，设 u = x^2，du = 2xdx，因此 ∫2xe^(x^2)dx = ∫e^udu = e^u + C = e^(x^2) + C。
步骤 6：求解 y
将 e^(x^2)y = e^(x^2) + C 两边同时除以 e^(x^2)，得到 y = 1 + Ce^(-x^2)。
给定的微分方程 y' + 2xy = 2x 是一阶线性微分方程，其中 y' 表示 y 对 x 的导数。一阶线性微分方程的一般形式为 y' + P(x)y = Q(x)，其中 P(x) 和 Q(x) 是 x 的函数。
步骤 2：确定 P(x) 和 Q(x)
对于方程 y' + 2xy = 2x，我们有 P(x) = 2x 和 Q(x) = 2x。
步骤 3：计算积分因子
一阶线性微分方程的积分因子为 e^(∫P(x)dx)。因此，积分因子为 e^(∫2xdx) = e^(x^2)。
步骤 4：应用积分因子
将积分因子 e^(x^2) 乘以方程的两边，得到 e^(x^2)y' + 2xe^(x^2)y = 2xe^(x^2)。左边是 (e^(x^2)y)' 的导数，因此方程可以写为 (e^(x^2)y)' = 2xe^(x^2)。
步骤 5：积分求解
对等式两边积分，得到 e^(x^2)y = ∫2xe^(x^2)dx + C。为了计算积分，我们使用换元法，设 u = x^2，du = 2xdx，因此 ∫2xe^(x^2)dx = ∫e^udu = e^u + C = e^(x^2) + C。
步骤 6：求解 y
将 e^(x^2)y = e^(x^2) + C 两边同时除以 e^(x^2)，得到 y = 1 + Ce^(-x^2)。