(11)设π`是非齐次方程组 Ax=b 的一个解,5.52···25n+是对应的齐次线性-|||-方程组的一个基础解系,令-|||-_(1)=(n)^* _(2)=(S)_(1)+(n)^* ,..., _(n-r+1)=(S)_(n-r)+(n)^*-|||-证明:-|||-①T11,n2,···, _(n-r+1) 线性无关;-|||-②非齐次线性方程组 Ax=b 的任一个解都可表示为-|||-=(k)_(1)(n)_(1)+(k)_(2)(n)_(2)+... +(k)_(n-1)+(I)_(n-1)+1-|||-其中 _(1)+(k)_(2)+... +(k)_(n-r+1)=1.

题目考察内容

本题主要考察非齐次线性方程组解的结构，包括非齐次方程组的特解、对应齐次方程组的基础解系，以及线性无关性证明和通解表示。

① 线性无关性证明

已知条件

• $\eta^*$ 是非齐次方程组 $Ax=b$ 的一个特解；
• $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_{n-r}$ 是对应齐次方程组 $Ax=0$ 的基础解系（题目中 $S_n$ 应为 $\xi_n$ 笔误，$n-r+1$ 个向量应为 $n-r+1$ 个：$\eta_1=\eta^*,\eta_2=\xi_1+\eta^*,\dots,\eta_{n-r+1}=\xi_{n-r}+\eta^*$）。

证明思路

假设存在常数 $k_1,k_2,\dots,k_{n-r+1}$ 使得：
$k_1\eta_1 + k_2\eta_2 + \dots + k_{n-r+1}\eta_{n-r+1} = 0$
代入 $\eta_i = \xi_{i-1}+\eta^*$（$\eta_1=\eta^*$ 即 $\xi_0=0$），整理得：
$(k_1+k_2+\dots+k_{n-r+1})\eta^* + k_2\xi_1 + k_3\xi_2 + \dots + k_{n-r+1}\xi_{n-r} = 0$

关键分析：

• $\eta^*$ 是特解（$A\eta^*=b\neq0$），$\xi_1,\dots,\xi_{n-r}$ 是齐次解（$A\xi_i=0$），线性组合后若系数不全为零则矛盾：
  若 $k_1+\dots+k_{n-r+1}\neq0$，则 $\eta^*$ 可表示为齐次解的线性组合，与 $A\eta^*=b\neq0$ 矛盾；
• 因此 $k_1+\dots+k_{n-r+1}=0$，进而 $k_2\xi_1+\dots+k_{n-r+1}\xi_{n-r}=0$，由基础解系线性无关得 $k_2=\dots=k_{n-r+1}=0$，故 $k_1=0$。

结论：$\eta_1,\dots,\eta_{n-r+1}$ 线性无关。

② 任一个解的表示

已知条件

非齐次方程组任一个解 $\eta$ 可表示为特解加齐次解：$\eta = \eta^* + c_1\xi_1 + \dots + c_{n-r}\xi_{n-r}$。

表示思路

将 $\eta_i = \xi_{i-1}+\eta^*$ 代入线性组合：
$k_1\eta_1 + k_2\eta_2 + \dots + k_{n-rθθ}\eta_{n-r+1} = (k_1+\dots+k_{n-r+1})\eta^* + (k_2\xi_1 + \dots + k_{n-r+1}\xi_{n-r})$

匹配系数：

• 令 $k_1+\dots+k_{n-r+1}=1$（保证特解系数为1），$k_2=c_1,\dots,k_{n-r+1}=c_{n-r}$，$k_1=1 - (c_1+\dots+c_{n-r})$，则：
  $\eta = k_1\eta_1 + k_2\eta_2 + \dots + k_{n-r+1}\eta_{n-r+1}$

结论：任一个解可表示为上述线性组合，且系数和为1。