题目

一、证明曲线积分int_((1,2))^(3,4)(6xy^2-y^3)dx+(6x^2y-3xy^2)dy在整个xoy面内与路径无关，并计算其值.

一、证明曲线积分$\int_{(1,2)}^{(3,4)}(6xy^{2}-y^{3})dx+(6x^{2}y-3xy^{2})dy$在整个xoy面内与路径无关，并计算其值.

题目解答

答案

**证明与计算：** 1. **判断与路径无关：** 设 $P(x, y) = 6xy^2 - y^3$，$Q(x, y) = 6x^2y - 3xy^2$。 计算得 $\frac{\partial P}{\partial y} = 12xy - 3y^2 = \frac{\partial Q}{\partial x}$，满足条件，故积分与路径无关。 2. **计算积分值：** **方法一：分段积分** 选择路径：$(1,2) \to (3,2) \to (3,4)$。 - 沿 $(1,2) \to (3,2)$：$y=2$，$dy=0$，积分值为 $\int_{1}^{3} (24x-8)dx = 80$。 - 沿 $(3,2) \to (3,4)$：$x=3$，$dx=0$，积分值为 $\int_{2}^{4} (54y-9y^2)dy = 156$。 总积分值为 $80 + 156 = 236$。 **方法二：势函数法** 找势函数 $u(x, y)$ 满足 $du = Pdx + Qdy$。 积分得 $u(x, y) = 3x^2y^2 - xy^3 + C$，取 $C=0$。 积分值为 $u(3,4) - u(1,2) = 236$。 **答案：** \[ \boxed{236} \]

解析

考查要点：本题主要考查曲线积分与路径无关的条件以及计算曲线积分的方法。

解题核心思路：

  1. 判断与路径无关：验证向量场的旋度是否为零，即计算$\frac{\partial P}{\partial y}$和$\frac{\partial Q}{\partial x}$是否相等。
  2. 计算积分值：若积分与路径无关，可选择分段积分（如沿坐标轴分段）或势函数法（求原函数后代入端点）。

破题关键点：

  • 偏导数的计算：准确求出$P$对$y$的偏导和$Q$对$x$的偏导。
  • 路径选择：分段积分时选择计算简便的路径（如先水平后垂直）。
  • 势函数的构造：通过偏微分方程逐步积分求出原函数。

1. 判断与路径无关

设$P(x, y) = 6xy^2 - y^3$，$Q(x, y) = 6x^2y - 3xy^2$，计算偏导数：

  • $\frac{\partial P}{\partial y} = 12xy - 3y^2$
  • $\frac{\partial Q}{\partial x} = 12xy - 3y^2$

结论：$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，故积分与路径无关。

2. 计算积分值

方法一：分段积分

选择路径$(1,2) \to (3,2) \to (3,4)$：

  1. 沿$(1,2) \to (3,2)$（$y=2$，$dy=0$）：
    $\int_{1}^{3} (24x - 8) \, dx = \left[12x^2 - 8x\right]_{1}^{3} = 80$
  2. 沿$(3,2) \to (3,4)$（$x=3$，$dx=0$）：
    $\int_{2}^{4} (54y - 9y^2) \, dy = \left[27y^2 - 3y^3\right]_{2}^{4} = 156$
    总积分值：$80 + 156 = 236$

方法二：势函数法

构造势函数$u(x, y)$满足：

  1. $\frac{\partial u}{\partial x} = P \Rightarrow u = 3x^2y^2 - xy^3 + C(y)$
  2. $\frac{\partial u}{\partial y} = Q \Rightarrow C(y) = \text{常数}$

取$C=0$，则$u(x, y) = 3x^2y^2 - xy^3$。代入端点：
$u(3,4) - u(1,2) = (3 \cdot 9 \cdot 16 - 3 \cdot 64) - (3 \cdot 1 \cdot 4 - 1 \cdot 8) = 236$