212 设 y_(1)(x) 与 y_(2)(x) 是二阶线性微分方程 y^primeprime+py^prime+qy=f(x) 的两个解，y_(3)(x) 与 y_(4)(x) 是二阶线性微分方程 y^primeprime+py^prime+qy=g(x) 的两个解，则下列函数中，一定是二阶线性微分方程 y^primeprime+py^prime+qy=f(x)-g(x) 的解的是A. y_(1)(x)-2y_(2)(x)+2y_(3)(x)-y_(4)(x).B. 2y_(1)(x)-y_(2)(x)+y_(3)(x)-2y_(4)(x).C. 2y_(1)(x)-y_(2)(x)+2y_(3)(x)-y_(4)(x).D. y_(1)(x)-2y_(2)(x)+y_(3)(x)-2y_(4)(x).

步骤 1：构造线性组合
设 $y(x) = a y_1(x) + b y_2(x) + c y_3(x) + d y_4(x)$，其中 $a, b, c, d$ 是待定系数。将 $y(x)$ 代入二阶线性微分方程 $y^{\prime\prime}+py^{\prime}+qy=f(x)-g(x)$ 中，得到：
\[ y'' + py' + qy = (a + b)f(x) + (c + d)g(x). \]
步骤 2：确定系数
为了使 $y(x)$ 成为 $y^{\prime\prime}+py^{\prime}+qy=f(x)-g(x)$ 的解，需要满足 $(a + b)f(x) + (c + d)g(x) = f(x) - g(x)$，即：
\[ a + b = 1, \quad c + d = -1. \]
步骤 3：验证选项
- (A)：$a = 1, b = -2, c = 2, d = -1$，得 $a + b = -1, c + d = 1$，不满足。
- (B)：$a = 2, b = -1, c = 1, d = -2$，得 $a + b = 1, c + d = -1$，满足。
- (C)：$a = 2, b = -1, c = 2, d = -1$，得 $a + b = 1, c + d = 1$，不满足。
- (D)：$a = 1, b = -2, c = 1, d = -2$，得 $a + b = -1, c + d = -1$，不满足。