(4)空间点 P(1,3,-4) 关于平面 3x+y-2z=0 的对称点是 () ;-|||-(A) (5,-1,0) (B)(5,1,0)-|||-(C) (-5,-1,0) (D) (-5,1,0)

考查要点：本题主要考查空间点关于平面的对称点求法，涉及平面法向量、直线与平面交点的计算，以及中点公式的应用。

解题核心思路：

1. 确定平面法向量：平面方程为 $3x + y - 2z = 0$，法向量为 $(3,1,-2)$。
2. 构造过点 $P$ 且与平面垂直的直线方程，求出该直线与平面的交点（垂足）。
3. 利用中点公式，通过垂足求出对称点坐标。

破题关键：

• 直线方程的建立需与平面法向量方向一致。
• 代入直线方程到平面方程，解出参数 $t$，从而确定垂足坐标。
• 对称点与原点关于垂足对称，需通过中点公式计算。

步骤1：确定平面法向量与直线方程

平面方程为 $3x + y - 2z = 0$，法向量为 $\mathbf{n} = (3,1,-2)$。
过点 $P(1,3,-4)$ 且与平面垂直的直线方程为：
$\frac{x-1}{3} = \frac{y-3}{1} = \frac{z+4}{-2} = t$
参数方程形式为：
$\begin{cases}x = 1 + 3t \\y = 3 + t \\z = -4 - 2t\end{cases}$

步骤2：求直线与平面的交点

将直线方程代入平面方程 $3x + y - 2z = 0$：
$3(1+3t) + (3+t) - 2(-4-2t) = 0$
展开并整理：
$3 + 9t + 3 + t + 8 + 4t = 0 \implies 14 + 14t = 0 \implies t = -1$
代入参数方程得交点 $Q$ 的坐标：
$x = 1 + 3(-1) = -2, \quad y = 3 + (-1) = 2, \quad z = -4 - 2(-1) = -2$
即 $Q(-2, 2, -2)$。

步骤3：利用中点公式求对称点

设对称点为 $Q'(x', y', z')$，则 $Q$ 是 $P$ 和 $Q'$ 的中点，即：
$Q = \frac{P + Q'}{2} \implies Q' = 2Q - P$
计算各坐标：
$\begin{cases}x' = 2(-2) - 1 = -5 \\y' = 2(2) - 3 = 1 \\z' = 2(-2) - (-4) = 0\end{cases}$
因此，对称点为 $(-5, 1, 0)$，对应选项 D。