8.设向量alpha_(1)=(1,0,-2)^T，alpha_(2)=(0,0,1)^T，向量beta是alpha_(1),alpha_(2)的线性组合，则下列beta中符合 条件的是（）. A.beta=(1,0,0)^T B.beta=(1,2,-2)^T C.beta=(1,1,-2)^T D.beta=(1,1,1)^T

考查要点：本题主要考查向量的线性组合概念，即判断给定向量是否能表示为其他向量的线性组合。

解题核心思路：

1. 线性组合的定义：若向量$\beta$是$\alpha_1$和$\alpha_2$的线性组合，则存在标量$a,b$，使得$\beta = a\alpha_1 + b\alpha_2$。
2. 分量分析：根据$\alpha_1$和$\alpha_2$的分量，写出$\beta$的表达式，通过对比选项中的分量，判断是否存在$a,b$满足条件。
3. 关键点：第二个分量必须为0（因为$\alpha_1$和$\alpha_2$的第二个分量均为0），直接排除不符合的选项。

设$\beta = a\alpha_1 + b\alpha_2$，则：
$\beta = a(1,0,-2)^T + b(0,0,1)^T = (a, 0, -2a + b)^T$

选项分析：

• 选项A：$\beta = (1,0,0)^T$

  • 第一个分量$a = 1$，第二个分量为0，符合条件。
  • 第三个分量需满足$-2a + b = 0$，代入$a=1$得$b=2$，存在解，故符合条件。

• 选项B：$\beta = (1,2,-2)^T$

  • 第二个分量为2，不为0，直接排除。

• 选项C：$\beta = (1,1,-2)^T$

  • 第二个分量为1，不为0，直接排除。

• 选项D：$\beta = (1,1,1)^T$

  • 第二个分量为1，不为0，直接排除。