题目
设A，B均为n阶矩阵，（A+B）（A-B）=A2-B2的充分必要条件是（）A. =EB. =0C. A=BD. AB=BA
设A，B均为n阶矩阵，（A+B）（A-B）=A2-B2的充分必要条件是（）
A. =E
B. =0
C. A=B
D. AB=BA
题目解答
答案
D. AB=BA
解析
步骤 1：展开等式
首先，我们对等式（A+B）（A-B）=A^2-B^2进行展开。根据矩阵乘法的分配律，我们有：
（A+B）（A-B）= A(A-B) + B(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2
步骤 2：比较等式两边
将步骤 1 中的展开式与等式右边 A^2 - B^2 进行比较，我们得到：
A^2 - AB + BA - B^2 = A^2 - B^2
步骤 3：简化等式
从上面的等式中，我们可以消去 A^2 和 -B^2，得到：
-AB + BA = 0
步骤 4：分析条件
-AB + BA = 0 可以写成 AB = BA，这表明矩阵 A 和 B 是可交换的，即 AB = BA。
首先，我们对等式（A+B）（A-B）=A^2-B^2进行展开。根据矩阵乘法的分配律，我们有：
（A+B）（A-B）= A(A-B) + B(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2
步骤 2：比较等式两边
将步骤 1 中的展开式与等式右边 A^2 - B^2 进行比较，我们得到：
A^2 - AB + BA - B^2 = A^2 - B^2
步骤 3：简化等式
从上面的等式中，我们可以消去 A^2 和 -B^2，得到：
-AB + BA = 0
步骤 4：分析条件
-AB + BA = 0 可以写成 AB = BA，这表明矩阵 A 和 B 是可交换的，即 AB = BA。