题目

int dfrac (2{x)^2-x-1}({x)^3+1}dx.

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查有理分式的积分方法，特别是部分分式分解、代数变形以及积分技巧的综合应用。

解题核心思路：

  1. 分母因式分解：将分母$x^3 + 1$分解为$(x + 1)(x^2 - x + 1)$。
  2. 部分分式分解：将原分式拆分为$\frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 - x + 1}$的形式，通过待定系数法求解$A, B, C$。
  3. 分项积分：分别对拆分后的两部分积分，其中第二部分需通过分子变形转化为标准积分形式（对数积分和反正切积分）。

破题关键点：

  • 分子变形：将分子$4x - 5$拆分为$2(2x - 1) - 3$，使得积分可分解为导数项和常数项。
  • 完成平方：将二次分母$x^2 - x + 1$转化为$(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$，便于应用反正切积分公式。

步骤1：分母因式分解

将分母$x^3 + 1$分解为：
$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

步骤2：部分分式分解

设原分式可分解为：
$\frac{2x^2 - x - 1}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 - x + 1}$
通过通分并比较系数，解得：
$A = \frac{2}{3}, \quad B = \frac{4}{3}, \quad C = -\frac{5}{3}$
因此，原积分可拆分为：
$\int \frac{2}{3(x + 1)} \, dx + \int \frac{4x - 5}{3(x^2 - x + 1)} \, dx$

步骤3：分项积分

  1. 第一部分积分：
    $\int \frac{2}{3(x + 1)} \, dx = \frac{2}{3} \ln |x + 1| + C_1$

  2. 第二部分积分：
    将分子$4x - 5$变形为$2(2x - 1) - 3$，拆分为两部分：
    $\int \frac{4x - 5}{3(x^2 - x + 1)} \, dx = \frac{2}{3} \int \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1} \, dx - \frac{3}{3} \int \frac{1}{x^2 - x + 1} \, dx$

  • 第一部分：
    $\frac{2}{3} \int \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1} \, dx = \frac{2}{3} \ln |x^2 - x + 1| + C_2$

  • 第二部分：
    将分母完成平方：
    $x^2 - x + 1 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$
    积分结果为：
    $-\int \frac{1}{\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \, dx = -\frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left(\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}\right) + C_3$

步骤4：合并结果

综合所有部分，最终结果为：
$\frac{2}{3} \ln |x + 1| + \frac{2}{3} \ln |x^2 - x + 1| - \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left(\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}\right) + C$
进一步合并对数项：
$\frac{2}{3} \ln |x^3 + 1| - \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left(\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}\right) + C$