设区域 :(x)^2+(y)^2leqslant 1, 计算 =(iint )_(D)[ sin (x)^2cos (y)^2+sin (x-y)dxdy]

考查要点：本题主要考查二重积分的对称性应用、极坐标变换以及三角函数积分的计算。

解题核心思路：

1. 奇偶性简化：利用积分区域$D$的对称性，判断$\sin(x-y)$项的积分为零。
2. 对称性拆分：将$\sin x^2 \cos y^2$与$\sin y^2 \cos x^2$结合，利用和角公式转化为$\sin(x^2 + y^2)$。
3. 极坐标转换：将积分区域转换为极坐标，简化计算。

破题关键点：

• 奇函数在对称区域的积分性质：若被积函数为奇函数且积分区域关于原点对称，则积分为零。
• 三角恒等式：$\sin A \cos B + \cos A \sin B = \sin(A+B)$。
• 极坐标变换：将$x^2 + y^2$替换为$r^2$，雅可比行列式为$r$。

步骤1：处理$\sin(x-y)$项

由于积分区域$D$关于$x$轴和$y$轴对称，令$u = x$, $v = -y$，则$\sin(x-y)$变为$\sin(u + v)$，与原函数奇偶性相反，因此：
$\iint_D \sin(x-y) \,dx\,dy = 0$

步骤2：对称性拆分$\sin x^2 \cos y^2$

将原积分拆分为两部分并取平均：
$\iint_D \sin x^2 \cos y^2 \,dx\,dy = \frac{1}{2} \iint_D \left( \sin x^2 \cos y^2 + \sin y^2 \cos x^2 \right) \,dx\,dy$

步骤3：应用和角公式

利用$\sin A \cos B + \cos A \sin B = \sin(A+B)$，得：
$\sin x^2 \cos y^2 + \sin y^2 \cos x^2 = \sin(x^2 + y^2)$

步骤4：极坐标变换

将$x^2 + y^2 = r^2$，$dx\,dy = r \,dr\,d\theta$，积分区域变为$0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$：
$\frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \int_0^1 r \sin r^2 \,dr\,d\theta$

步骤5：计算积分

1. 对$r$积分：令$u = r^2$，则$du = 2r \,dr$，积分变为：
   $\int_0^1 r \sin r^2 \,dr = \frac{1}{2} \int_0^1 \sin u \,du = \frac{1 - \cos 1}{2}$
2. 对$\theta$积分：
   $\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$
3. 合并结果：
   $\frac{1}{2} \cdot 2\pi \cdot \frac{1 - \cos 1}{2} = \frac{\pi}{2}(1 - \cos 1)$