设 A 为 n 阶方阵，且有 A^2 - 2A - 5E = 0，求 (A + E)^-1 = ( ) A A + E 不可逆 B (1)/(2)(A - 3E) C A - 3E D A + E

考查要点：本题主要考查矩阵方程的应用及逆矩阵的求解方法，需要学生灵活运用矩阵运算规则和方程变形技巧。

解题核心思路：

1. 利用已知方程降阶：将高阶矩阵项（如$A^2$）用低阶项表示，简化后续运算。
2. 构造乘积矩阵：通过假设$(A+E)$的逆矩阵形式，构造乘积并展开，结合已知方程消去高阶项，最终得到单位矩阵。
3. 系数调整：通过调整标量系数，使乘积结果为单位矩阵，从而确定逆矩阵的具体表达式。

破题关键点：

• 方程变形：将原方程$A^2 - 2A - 5E = 0$变形为$A^2 = 2A + 5E$，用于后续运算。
• 选择合适的乘积形式：假设$(A+E)$与$(A - kE)$相乘，通过展开和代入方程消去$A$项，确定$k$的值。

步骤1：利用已知方程降阶

由$A^2 - 2A - 5E = 0$，得：
$A^2 = 2A + 5E.$

步骤2：构造乘积矩阵

假设存在矩阵$B$使得$(A+E)B = E$，尝试令$B = \frac{1}{2}(A - 3E)$，验证如下：
$\begin{aligned}(A+E)\left(\frac{1}{2}(A - 3E)\right) &= \frac{1}{2}(A+E)(A - 3E) \\&= \frac{1}{2}\left(A^2 - 3A + A - 3E\right) \\&= \frac{1}{2}\left(A^2 - 2A - 3E\right).\end{aligned}$

步骤3：代入降阶后的方程

将$A^2 = 2A + 5E$代入：
$\begin{aligned}\frac{1}{2}\left((2A + 5E) - 2A - 3E\right) &= \frac{1}{2}(2E) \\&= E.\end{aligned}$

步骤4：结论

因此，$(A+E)^{-1} = \frac{1}{2}(A - 3E)$，对应选项B。