题目
[题目]已知a,b为正实数,且 dfrac (2)(a)+dfrac (1)(b)=1, 则 a+2b 的-|||-最小值为 __
题目解答
答案
解析
步骤 1：利用已知条件
已知 $\dfrac {2}{a}+\dfrac {1}{b}=1$，且 $a,b$ 为正实数。
步骤 2：应用柯西不等式
根据柯西不等式，对于任意正实数 $a,b$，有 $(a+2b)(\dfrac {2}{a}+\dfrac {1}{b})\geqslant (\sqrt{a}\cdot\sqrt{\dfrac{2}{a}}+\sqrt{2b}\cdot\sqrt{\dfrac{1}{b}})^2$。
步骤 3：计算最小值
将已知条件代入，得到 $(a+2b)(\dfrac {2}{a}+\dfrac {1}{b})=a+2b$，根据柯西不等式，有 $a+2b\geqslant (\sqrt{2}+\sqrt{2})^2=8$。当且仅当 $\dfrac{a}{\sqrt{2}}=\sqrt{2b}$，即 $a=2b=4$ 时，取等号。
已知 $\dfrac {2}{a}+\dfrac {1}{b}=1$，且 $a,b$ 为正实数。
步骤 2：应用柯西不等式
根据柯西不等式，对于任意正实数 $a,b$，有 $(a+2b)(\dfrac {2}{a}+\dfrac {1}{b})\geqslant (\sqrt{a}\cdot\sqrt{\dfrac{2}{a}}+\sqrt{2b}\cdot\sqrt{\dfrac{1}{b}})^2$。
步骤 3：计算最小值
将已知条件代入，得到 $(a+2b)(\dfrac {2}{a}+\dfrac {1}{b})=a+2b$，根据柯西不等式，有 $a+2b\geqslant (\sqrt{2}+\sqrt{2})^2=8$。当且仅当 $\dfrac{a}{\sqrt{2}}=\sqrt{2b}$，即 $a=2b=4$ 时，取等号。