题目
谢谢您！设∑为平面 x+y+z=1 被三个坐标面所截部分,则曲面积分-|||-(iint )_(2)^1dfrac (1)({(1+x+y))^2}dS= () .-|||-A. sqrt (3)-|||-B. sqrt (3)(ln 2-1)-|||-C. sqrt (3)(ln 2-dfrac (1)(2))-|||-D. sqrt (3)ln 2
谢谢您！
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲面的投影区域
曲面∑为平面 x+y+z=1 被三个坐标面所截部分，因此投影区域为 x+y=1 在 xOy 平面上的三角形区域，即 0≤x≤1, 0≤y≤1-x。
步骤 2：计算曲面的微分面积
曲面的微分面积 dS 可以表示为 $\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy$。由于 z=1-x-y，所以 $\frac{\partial z}{\partial x}=-1$，$\frac{\partial z}{\partial y}=-1$，因此 dS=$\sqrt{3}dxdy$。
步骤 3：计算曲面积分
曲面积分 ${\iint }_{∑}\dfrac {1}{{(1+x+y)}^{2}}dS$ 可以表示为 ${\iint }_{D}\dfrac {1}{{(1+x+y)}^{2}}\sqrt{3}dxdy$，其中 D 为 xOy 平面上的三角形区域。因此，曲面积分可以表示为：
${\iint }_{D}\dfrac {1}{{(1+x+y)}^{2}}\sqrt{3}dxdy$ = $\sqrt{3}{\int }_{0}^{1}dx{\int }_{0}^{1-x}\dfrac {1}{{(1+x+y)}^{2}}dy$ = $\sqrt{3}{\int }_{0}^{1}dx[-\dfrac{1}{1+x+y}]_{0}^{1-x}$ = $\sqrt{3}{\int }_{0}^{1}(\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{1}{2})dx$ = $\sqrt{3}(\ln(1+x)-\dfrac{1}{2}x)_{0}^{1}$ = $\sqrt{3}(\ln 2-\dfrac{1}{2})$。
曲面∑为平面 x+y+z=1 被三个坐标面所截部分，因此投影区域为 x+y=1 在 xOy 平面上的三角形区域，即 0≤x≤1, 0≤y≤1-x。
步骤 2：计算曲面的微分面积
曲面的微分面积 dS 可以表示为 $\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy$。由于 z=1-x-y，所以 $\frac{\partial z}{\partial x}=-1$，$\frac{\partial z}{\partial y}=-1$，因此 dS=$\sqrt{3}dxdy$。
步骤 3：计算曲面积分
曲面积分 ${\iint }_{∑}\dfrac {1}{{(1+x+y)}^{2}}dS$ 可以表示为 ${\iint }_{D}\dfrac {1}{{(1+x+y)}^{2}}\sqrt{3}dxdy$，其中 D 为 xOy 平面上的三角形区域。因此，曲面积分可以表示为：
${\iint }_{D}\dfrac {1}{{(1+x+y)}^{2}}\sqrt{3}dxdy$ = $\sqrt{3}{\int }_{0}^{1}dx{\int }_{0}^{1-x}\dfrac {1}{{(1+x+y)}^{2}}dy$ = $\sqrt{3}{\int }_{0}^{1}dx[-\dfrac{1}{1+x+y}]_{0}^{1-x}$ = $\sqrt{3}{\int }_{0}^{1}(\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{1}{2})dx$ = $\sqrt{3}(\ln(1+x)-\dfrac{1}{2}x)_{0}^{1}$ = $\sqrt{3}(\ln 2-\dfrac{1}{2})$。