题目
(19) int dfrac (dx)(4-{x)^2}
题目解答
答案
解析
步骤 1：分解分母
分母 $4 - x^2$ 可以分解为 $(2 - x)(2 + x)$，因此原积分可以写为 $\int \dfrac{dx}{(2 - x)(2 + x)}$。
步骤 2：部分分式分解
将 $\dfrac{1}{(2 - x)(2 + x)}$ 分解为部分分式，设 $\dfrac{1}{(2 - x)(2 + x)} = \dfrac{A}{2 - x} + \dfrac{B}{2 + x}$，其中 $A$ 和 $B$ 是待定系数。通过解方程组找到 $A$ 和 $B$ 的值。
步骤 3：求解 $A$ 和 $B$
将 $\dfrac{1}{(2 - x)(2 + x)}$ 与 $\dfrac{A}{2 - x} + \dfrac{B}{2 + x}$ 相等，得到 $1 = A(2 + x) + B(2 - x)$。通过比较系数，得到 $A + B = 0$ 和 $2A - 2B = 1$。解这个方程组，得到 $A = \dfrac{1}{4}$ 和 $B = -\dfrac{1}{4}$。
步骤 4：积分
将 $A$ 和 $B$ 的值代入，得到 $\int \dfrac{1}{4} \dfrac{1}{2 - x} - \dfrac{1}{4} \dfrac{1}{2 + x} dx$。分别对每一项积分，得到 $\dfrac{1}{4} \ln|2 - x| - \dfrac{1}{4} \ln|2 + x| + C$。
步骤 5：简化结果
利用对数的性质，将结果简化为 $\dfrac{1}{4} \ln|\dfrac{2 - x}{2 + x}| + C$。由于 $\ln|\dfrac{2 - x}{2 + x}| = -\ln|\dfrac{2 + x}{2 - x}|$，最终结果可以写为 $\dfrac{1}{4} \ln|\dfrac{2 + x}{2 - x}| + C$。
分母 $4 - x^2$ 可以分解为 $(2 - x)(2 + x)$，因此原积分可以写为 $\int \dfrac{dx}{(2 - x)(2 + x)}$。
步骤 2：部分分式分解
将 $\dfrac{1}{(2 - x)(2 + x)}$ 分解为部分分式，设 $\dfrac{1}{(2 - x)(2 + x)} = \dfrac{A}{2 - x} + \dfrac{B}{2 + x}$，其中 $A$ 和 $B$ 是待定系数。通过解方程组找到 $A$ 和 $B$ 的值。
步骤 3：求解 $A$ 和 $B$
将 $\dfrac{1}{(2 - x)(2 + x)}$ 与 $\dfrac{A}{2 - x} + \dfrac{B}{2 + x}$ 相等，得到 $1 = A(2 + x) + B(2 - x)$。通过比较系数，得到 $A + B = 0$ 和 $2A - 2B = 1$。解这个方程组，得到 $A = \dfrac{1}{4}$ 和 $B = -\dfrac{1}{4}$。
步骤 4：积分
将 $A$ 和 $B$ 的值代入，得到 $\int \dfrac{1}{4} \dfrac{1}{2 - x} - \dfrac{1}{4} \dfrac{1}{2 + x} dx$。分别对每一项积分，得到 $\dfrac{1}{4} \ln|2 - x| - \dfrac{1}{4} \ln|2 + x| + C$。
步骤 5：简化结果
利用对数的性质，将结果简化为 $\dfrac{1}{4} \ln|\dfrac{2 - x}{2 + x}| + C$。由于 $\ln|\dfrac{2 - x}{2 + x}| = -\ln|\dfrac{2 + x}{2 - x}|$，最终结果可以写为 $\dfrac{1}{4} \ln|\dfrac{2 + x}{2 - x}| + C$。