[例5] 设函数f(x,y)连续,则 (int )_(1)^2dx(int )_(x)^2f(x,y)dy+(int )_(1)^2dy(int )_(y)^4-yf(x,y)dx 等于 ()-|||-(A) (int )_(1)^2dx(int )_(1)^4-xf(x,y)dy (B) (int )_(1)^2dx(int )_(x)^4-xf(x,y)dy-|||-(C) (int )_(1)^2dy(int )_(1)^4-yf(x,y)dx (D) (int )_(1)^2dy(int )_(y)^2f(x,y)dx

考查要点：本题主要考查二重积分的交换积分次序，以及积分区域的合并与分析能力。

解题核心思路：

1. 拆分积分区域：将两个二重积分的积分区域分别表示为$D_1$和$D_2$，分析它们的几何形状。
2. 合并区域：将$D_1$和$D_2$合并为一个整体区域$D$，确定其公共描述方式。
3. 交换积分次序：根据合并后的区域$D$，调整积分次序，得到最终表达式。

破题关键点：

• 正确绘制积分区域图形，明确$x$和$y$的上下限关系。
• 合并区域时注意覆盖范围，确保所有子区域都被包含。
• 交换积分次序时，优先统一变量顺序，重新描述积分限。

分析积分区域

1. 第一积分：$\displaystyle \int_{1}^{2}dx \int_{x}^{2}f(x,y)dy$

   • 积分区域：$D_1 = \{ (x,y) \mid 1 \leq x \leq 2,\ x \leq y \leq 2 \}$
   • 几何意义：$x$从$1$到$2$，$y$从$x$到$2$，对应右上方的三角形区域（顶点$(1,1)$、$(2,2)$、$(1,2)$）。

2. 第二积分：$\displaystyle \int_{1}^{2}dy \int_{y}^{4-y}f(x,y)dx$

   • 积分区域：$D_2 = \{ (x,y) \mid 1 \leq y \leq 2,\ y \leq x \leq 4-y \}$
   • 几何意义：$y$从$1$到$2$，$x$从$y$到$4-y$，对应关于直线$y=1.5$对称的区域（顶点$(1,1)$、$(3,1)$、$(2,2)$）。

合并积分区域

• 合并后的区域：$D = D_1 \cup D_2$
  • 公共描述：$1 \leq y \leq 2$，$1 \leq x \leq 4-y$
  • 验证：
    • 当$y=1$时，$x$从$1$到$3$（覆盖$D_1$和$D_2$）。
    • 当$y=2$时，$x$仅取$2$（$D_1$和$D_2$的交点）。

交换积分次序

• 原积分次序：第一积分为$dx\,dy$，第二积分为$dy\,dx$。
• 统一为$dy\,dx$：
  $\iint_D f(x,y)\,dx\,dy = \int_{1}^{2}dy \int_{1}^{4-y}f(x,y)dx$
  • 对应选项：选项C的表达式与上述结果一致。