题目
1.交换积分次序：int_(1)^2dxint_((1)/(x))^xf(x,y)dy.
1.交换积分次序：$\int_{1}^{2}dx\int_{\frac{1}{x}}^{x}f(x,y)dy$.
题目解答
答案
原积分区域为 $D = \{(x, y) \mid 1 \leq x \leq 2, \frac{1}{x} \leq y \leq x\}$。交换次序后，按 $y$ 分段：
1. 当 $\frac{1}{2} \leq y \leq 1$ 时，$x$ 范围为 $\frac{1}{y}$ 到 $2$。
2. 当 $1 \leq y \leq 2$ 时，$x$ 范围为 $y$ 到 $2$。
答案：
\[
\boxed{\int_{\frac{1}{2}}^{1}dy\int_{\frac{1}{y}}^{2}f(x,y)dx + \int_{1}^{2}dy\int_{y}^{2}f(x,y)dx}
\]
解析
步骤 1：确定原积分区域
原积分区域为 $D = \{(x, y) \mid 1 \leq x \leq 2, \frac{1}{x} \leq y \leq x\}$。这意味着 $x$ 的取值范围是 $1$ 到 $2$，而 $y$ 的取值范围是 $\frac{1}{x}$ 到 $x$。
步骤 2：按 $y$ 分段
为了交换积分次序，我们需要按 $y$ 的取值范围来重新定义积分区域。根据 $x$ 的取值范围，$y$ 的取值范围可以分为两段：
1. 当 $\frac{1}{2} \leq y \leq 1$ 时，$x$ 的取值范围是 $\frac{1}{y}$ 到 $2$。
2. 当 $1 \leq y \leq 2$ 时，$x$ 的取值范围是 $y$ 到 $2$。
步骤 3：写出交换次序后的积分表达式
根据步骤 2 的分析，交换积分次序后的表达式为：
\[ \int_{\frac{1}{2}}^{1}dy\int_{\frac{1}{y}}^{2}f(x,y)dx + \int_{1}^{2}dy\int_{y}^{2}f(x,y)dx \]
原积分区域为 $D = \{(x, y) \mid 1 \leq x \leq 2, \frac{1}{x} \leq y \leq x\}$。这意味着 $x$ 的取值范围是 $1$ 到 $2$，而 $y$ 的取值范围是 $\frac{1}{x}$ 到 $x$。
步骤 2：按 $y$ 分段
为了交换积分次序，我们需要按 $y$ 的取值范围来重新定义积分区域。根据 $x$ 的取值范围，$y$ 的取值范围可以分为两段：
1. 当 $\frac{1}{2} \leq y \leq 1$ 时，$x$ 的取值范围是 $\frac{1}{y}$ 到 $2$。
2. 当 $1 \leq y \leq 2$ 时，$x$ 的取值范围是 $y$ 到 $2$。
步骤 3：写出交换次序后的积分表达式
根据步骤 2 的分析，交换积分次序后的表达式为：
\[ \int_{\frac{1}{2}}^{1}dy\int_{\frac{1}{y}}^{2}f(x,y)dx + \int_{1}^{2}dy\int_{y}^{2}f(x,y)dx \]