12.微分方程 (x-arctan y)dfrac (dy)(dx)+1+(y)^2=0 的通解为 ()-|||-(A) =C(e)^arctan y+arctan y-1, C为任意常数-|||-(B) =C(e)^-arctan y-arctan y-1, C为任意常数-|||-(C) =C(e)^-arctan y+arctan y-1, C为任意常数-|||-(D) =C(e)^-arctan y+arctan y-2, C为任意常数

本题考查一阶线性微分方程的解法。解题的关键在于将原方程转化为标准的线性微分方程形式，并正确应用积分因子法。核心步骤如下：

1. 变量替换：将方程改写为关于$x$的导数$\dfrac{dx}{dy}$的形式，分离变量。
2. 识别线性方程结构：整理为$\dfrac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$的标准形式。
3. 计算积分因子：通过积分$\int P(y) dy$得到积分因子。
4. 求解积分方程：利用分部积分法计算右侧积分，最终得到通解。

步骤1：整理方程形式

原方程：
$(x - \arctan y)\dfrac{dy}{dx} + 1 + y^2 = 0$
将方程改写为：
$(x - \arctan y)\dfrac{dy}{dx} = -(1 + y^2)$
两边取倒数并整理得：
$\dfrac{dx}{dy} = -\dfrac{x - \arctan y}{1 + y^2}$
进一步整理为线性方程形式：
$\dfrac{dx}{dy} + \dfrac{1}{1 + y^2}x = \dfrac{\arctan y}{1 + y^2}$

步骤2：计算积分因子

积分因子为：
$\mu(y) = \exp\left(\int \dfrac{1}{1 + y^2} dy\right) = \exp(\arctan y) = e^{\arctan y}$

步骤3：应用积分因子

方程两边乘以积分因子：
$e^{\arctan y} \dfrac{dx}{dy} + \dfrac{e^{\arctan y}}{1 + y^2}x = \dfrac{\arctan y \cdot e^{\arctan y}}{1 + y^2}$
左边可写为全导数形式：
$\dfrac{d}{dy}\left(x \cdot e^{\arctan y}\right) = \dfrac{\arctan y \cdot e^{\arctan y}}{1 + y^2}$

步骤4：积分求解

对两边积分：
$x \cdot e^{\arctan y} = \int \dfrac{\arctan y \cdot e^{\arctan y}}{1 + y^2} dy + C$
令$u = \arctan y$，则$du = \dfrac{1}{1 + y^2} dy$，积分变为：
$\int u e^u du = u e^u - \int e^u du = e^u (u - 1) + C$
代回原变量得：
$x \cdot e^{\arctan y} = e^{\arctan y} (\arctan y - 1) + C$
整理得通解：
$x = C e^{-\arctan y} + \arctan y - 1$